2015-2016学年高中数学-第1章-1计数原理课件-北师大版选修2-3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3计数原理第一章本章知识概述计数问题是数学的重要研究对象之一，其相关内容是进一步学习概率知识的基础．排列、组合的应用是高考的热点，单独考查时一般以选择题或填空题的形式出现，以解答题形式出现时，常与概率知识综合考查，试题难度较大.本章的重点是：两个计数原理，排列与组合的意义，排列数、组合数公式，二项式定理的理解和应用；难点是：用两个计数原理与排列、组合知识解决实际问题．学习时应注意以下几点：1．重视两个计数原理的学习，分清问题的解决是要分类还是分步．2．对问题涉及的是排列问题、组合问题，还是排列与组合的综合问题，要进行认真的辨析，抓住联系，弄清区别．3．重复计数与遗漏计数是本章学习中的易错点，注意认真研究典型例题，培养解题时合理的思维方式．4．掌握常见计数问题的解题策略，形成一定的思维及解题模式．5．解题中，注意分类讨论、数形结合、等价转化、正难则反等数学思想方法的应用．§1计数原理第一章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据具体问题的特征，正确地选用分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行处理．3．在理解两个计数原理的过程中，提高学生的综合、归纳及比较能力；在运用两个原理解决实际问题的过程中，提高学生学习数学的兴趣和理性分析问题的能力．本节重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理．本节难点：正确的使用两个原理解题.1.分类加法计数原理原理内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝_______________种方法．(也称__________)加法计数原理针对的是“_______”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以______完成这件事．m1＋m2＋…＋mn加法原理分类单独2．分步乘法计数原理原理内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝_____________________种方法．(也称__________)m1×m2×m3×…×mn乘法原理1.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关．如果完成一件事，有几类方案，这几类方案彼此之间是相互独立的，无论哪类方案的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理．如果完成一件事需要分成几个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．2．理解“分类”与“分步”(1)分类：“做一件事，完成它可以有几类方案”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②属于不同类的方法是不同的方法．(2)分步：“做一件事，完成它需要分成几个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法都要分成几个步骤，分步时，首先根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．两个基本原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，表解如下：分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复1.2014年南京青奥会这是世界体坛的一大盛事．一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京每天有6列火车，该志愿者从广州到沈阳共有____种不同的方法()A．13B．42C．7D．6[答案]B[解析]根据乘法原理，此人可选择的行车方式共有6×7＝42种．2．把10个水果分成3份，要求每份至少1个，至多5个，则不同的分法种数共有()A．5种B．6种C．4种D．3种[答案]C[解析]由于分成3份，每份至少1个，至多5个，故有一份1个苹果，其余两分只能选一份5个，一份4个；有一份2个苹果，则其余两份可能一份5个，一份3个，或两分都是4个；有一份3个苹果，则其余两份只能是一份4个，一份3个．∴共有1＋2＋1＝4(种)．3．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()A．63种B．64种C．6种D．36种[答案]A[解析]因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，而只要有一个脱落了，则电路就不能，共有26－1＝63种，故选A.[反思总结]在解决实际计数问题时，当直接法比较复杂难以计数时，利用正难则反的策略，采用间接法常能使问题化难为易，化繁为简，给人以“柳暗花明又一村”的感觉．4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则报名方法共有________种．[答案]32[解析]本题关键在于弄清楚要完成的事情是什么，在这里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参加课外活动小组，因而完成这件事需要分5步：第一步：甲同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法．第二步：乙同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法．……第五步：戊同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法．根据乘法原理，满足条件的报名方法共有2×2×2×2×2＝32种．课堂典例探究高三·一班有学生50人，男30人，女20人；高三·二班有学生60人，男30人，女30人；高三·三班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？分类加法计数原理[分析]所谓“完成一件事，有几类方案”，是指对完成这件事情的所有方案的一个分类．利用分类加法计数原理求解．[解析](1)分三类：第一类选法，从高三·一班中任选一名有50种不同的方法；第二类选法，从高三·二班中任选一名有60种不同的方法；第三类选法，从高三·三班中任选一名有55种不同的方法．根据分类加法计数原理，得50＋60＋55＝165(种)．因此共有165种不同的选法．(2)分三类：第一类选法，从高三·一班男生中任选一名有30种不同的方法；第二类选法，从高三·二班男生中任选一名有30种不同的方法；第三类选法，从高三·三班女生中任选一名有20种不同的方法．根据分类加法计数原理，得30＋30＋20＝80(种)．故共有80种不同的选法．[反思总结]运用分类加法计数原理时，首先要依据问题的特征，确定恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类．分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必须属于某一类而且仅属于这一类，即各类办法是互斥的，相互独立的．满足a、b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10[答案]B[解析]①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．∴(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个.分步乘法计数原理一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信均不相同．(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？[分析](1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，共有5×4＝20(种)．(2)把信投入邮筒，是将9封信分别投入，投一封信，就是一步，共有49种．[解析](1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)．(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．共有49种不同的放法．[反思总结]使用分步乘法计数原理做题时，必须是各步骤全部完成，事情才能完成，切忌缺步骤．某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？[解析]先分三步选号，再计算总钱数．按号段选号，分成三步．第一步从01至17中选3个连续的号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续的号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法．由分步乘法计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7＝1050(注)，故至少要花1050×2＝2100(元).“分类加法”与“分步乘法”的辨析现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？[分析]主要考查两个计数原理的综合应用，先考虑分类再考虑分步．[解析](1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，不同的选法共有N＝7＋8＋9＋10＝34种．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以不同的选法共有N＝7×8×9×10＝5040种．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，不同的选法共有N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．[反思总结]①对于综合问题，要清楚是先分类，每类之中有分步；还是先分步，每步之中有分类；②一般是先分类再分步，分类时要确定分类标准及分类方案，以防重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性．③对于较复杂的两个原理的综合应用问题，恰当地画出示意图或表格，是解决这类问题的关键．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选1幅画布置房间，有多少种选法？(2)从3种画中各选1幅布置房间，有多少种选法？[解析](1)分3类计数：第一类：选出的是国画，有5种选法．第二类：选出的是油画，有2种选法．第三类：选出的是水彩画，有7种选法．根据加法原理，共有5＋2＋7＝14种选法．(2)分3步计数：第一步：选1幅国画，有5种选法．第二步：选1幅油画，有2种选法．第三步：选1幅水彩画，有7种选法．根据乘法原