中考数学----几何最值

中考数学————几何最值【知识梳理】1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等2.几何最值问题的基本原理。①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）线段和(周长)最小转化构造三角形两点之间，线段最短垂线段最短线段差最大线段最大（小）值三角形三边关系定理三点共线时取得最值平移对称旋转使点在线异侧（如下图）使点在线同侧（如下图）使目标线段与定长线段构成三角形平移对称旋转PA+PB最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧lB'ABPlB'BAP构建“对称模型”实现转化一次对称1.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．2、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。1题图2题图3题图4题图3.已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．4.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．蜂蜜蚂蚁AC正方形中的对称变换1、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．63.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为.二次对称1.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。2.如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN周长的最小值为.1题图2题图3题图QPEDCBANMOPBAMNABO3．如图，∠MON＝60°，点A、B为∠MON内两点，∠AOB＝30°，OA＝3，OB＝23，C、D分别是ON、OM上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为____________．平移与对称综合1、如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为.3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝4，E是BC的中点，∠AED＝135°，则AD长度的最大值为_________．折叠1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．A'NMCBAABECDFDCBAxyOE2.如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.二次函数求最值1.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，直线l与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点B，连接PA，则PA－PB的最大值为____________．动点轨迹与最值1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝6，点D在边AC上，且AD＝4．将线段AD绕点A旋转，点M始终为BD中点，则线段CM长度的最大值为_____________．1题图2题图3题图ABCDPFEDCBAABCDEFPMCABDABOPlABDCFEPABCQP2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，BC上的动点，DE＝CF，连接AE，DF交于点P．当点E从点D运动到点C时，线段CP长的最小值为___________。3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，则线段QC长度的最小值为____________．旋转变换与几何最值1、一锐角三角形,试在三角形内找一点,使该点到三顶点的距离之和最短。2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、定点P到等边△ABC的定点距离AP=2,BP=3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC的最大值，并证明你的结论。CABP4、如图，四边形ABCD内接于圆，∠D＝90°，AB＝BC，CD＝4，AC＝8，O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点，求OP＋PC的最小值；（2）设Q、R分别是AB、AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（－2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．将正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，直线AE′与直线BF′相交于点P，则点P的纵坐标的最大值为___，最小值为__．6、如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台Q，求铺设公路AP、DP以及PQ的长度之和的最小值为多少米？ABDCP1000m600mABCDMOMEOBxyF′DFE′D′AP7．△ABC中，BC＝a，AC＝b．如图1，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，则当∠ACB＝___°时，C、D两点的距离最大，最大值为______；如图2，以AB为边向△ABC外作正方形ABDE，则当∠ACB＝__________°时，点C到正方形ABDE的中心O的距离最大，最大值为_____________．【中考几何最值类问题欣赏】1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．DBC图1ADBC图2AEO2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点求线段CF长度的最大值．【思维发散】1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，过点A作AH⊥EF于H，则AH的长的最大值为____________1题图2题图BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图ABCEFHABCDPO2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为____________．3题图4题图3．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△AMN的面积的最小值为_____________．4．如图，直线PA与⊙O交于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠PAE，CD⊥PA于D．若DA＋DC＝4，则⊙O半径的最小值为____________．5．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为___________．6．如图，AB是半圆O的直径，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，点P是半圆上一动点．已知AB＝2，AC＝1，BD＝3，则封闭图形ABDPC面积的最大值为___________．5题图6题图ADBMNCDCOAEBPODBCAEFOBACDP