2016新课标数学《艺考生文化课冲刺点金》3.1专题一-三角函数与解三角形

第三章高考复习冲刺点金——主观题艺考生文化课冲刺点金专题一三角函数与解三角形三角恒等变换、三角函数与解三角形是高考考查的重点内容之一，该部分的命题主要围绕以下四点展开：第一点是围绕三角恒等变换展开，考查使用三角函数的和、差公式，倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系等公式进行变换求值等问题。试题难度不大；第二点是围绕三角函数的图象展开，考查根据三角函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角函数图象与性质的综合等问题；第三点是围绕三角函数性质展开，考查根据三角函数解析式研究函数性质，根据三角函数性质判断函数解析式中的参数等问题；第四点是围绕正弦定理、余弦定理解三角形展开，目的是考查使用这两个定理解一般的斜三角形.艺考生文化课冲刺点金【近3年新课标卷与广东卷考点统计】年份试卷类型201320142015新课标Ⅰ卷12新课标Ⅱ卷1212广东卷121212艺考生文化课冲刺点金【例1】已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边.如果：sincsin2sinsinaACaCbB.(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若075,2,Abac求，.【解析】(I)由已知条件及正弦定理得：2222acacb由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，又B为△ABC的内角，因此45B.（II）sinsin(3045)Asin30cos45cos30sin45264故由正弦定理可得：sin2613sin2AabB又由：A＋B＋C=180°，得C=60°，于是有：sinsin6026sinsin45CcbB.艺考生文化课冲刺点金【例2】如图，一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直)，在山脚A处测得塔尖C的仰角为,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B处，测得C的仰角为.(1)求BC的长；(2)若24,45,75,30,l求信号塔CD的高度.AEDCB【解析】(1)在ABC中，,(),CABABCACB，由正弦定理得：sin()sin()BCl.(2)由(1)及条件知，sin()12(62)sin()BCl，因为：9015BCD，45CBD，120BDC，所以在△BCD中，由正弦定理得，sin452483sin120CDBC.艺考生文化课冲刺点金【例3】在ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc，角A为锐角，若6(sin,)23Am，3(cos,)23An且mn.（1）求cosA的大小；（2）若1,2abc，求ABC的面积S.【解析】（1）由mn可得0mn即2sincos223AA22sin3A22sincos1AA21cos9Aπ0,2A1cos3A（2）222cos2bcaAbc由（1）知1cos3A，22232bcbca223988bcbca132sin28SbcA艺考生文化课冲刺点金【例4】已知2()23sincos2cosfxxxx，在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2220bcabc（1）求角A的值；（2）求()fA的值；（3）求()fB的取值范围。【解析】（1）∵2220bcabc∴212cos222bcacbA又∵A∈（0,π）∴32A（2）由题意得：2()23sincos2cosfxxxx=1)62sin(212cos2sin3xxx所以11)6322sin(2)32()(fAf（3）由（1）知32A，又CBA∴3CB，于是有：30B，∴65626B，从而有1)62sin(21B∴31)62sin(22B即3)(2Bf，所以)(Bf的取值范围是3,2艺考生文化课冲刺点金，b，c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，AcCaccossin3(1)求A；(2)若a=2，ABC的面积为3，求b，c.解：(1)由AcCaccossin3及正弦定理得CACCAsincossinsinsin3由于sin0C，有1cossin3AA，所以1sin()62A，又0A，故3A.(2)ABC的面积S=1sin2bcA=3,故bc=4，而2222cosabcbcA故22cb=8，解得bc=2.艺考生文化课冲刺点金互补，2,3,1DACDBCAB.（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积.解：（1）由题设及余弦定理得2222cosBDBCCDBCCDC=1312cosC，①2222cosBDABDAABDAA54cosC.②由①，②得1cos2C，故060C，7BD。（2）四边形ABCD的面积11sinsin22SABDAABCCDC011(1232)sin602223艺考生文化课冲刺点金．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sinB＝sinA＋π2＝cosA＝63.由正弦定理可得，b＝asinBsinA＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×32×13＝322.艺考生文化课冲刺点金．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝92sinC，求a和b的值．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC可得sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.由于S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.艺考生文化课冲刺点金．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sinB＝6sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsinB＝csinC，及sinB＝6sinC，可得b＝6c.又由a－c＝66b，有a＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.于是cos2A＝2cos2A－1＝－14，sin2A＝2sinA·cosA＝154.所以cos2A－π6＝cos2A·cosπ6＋sin2A·sinπ6＝15－38.艺考生文化课冲刺点金．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A－B2＋4sinAsinB＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋2，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝2，故cos(A＋B)＝－22，所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝32.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝10.艺考生文化课冲刺点金考点训练详见《艺考生文化课冲刺点金.数学》书中P78-81其他题艺考生文化课冲刺点金