高考专题突破二

第五章平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题内容索引考点自测快速解答自查自纠题型分类对接高考深度剖析练出高分考点自测1.已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为()A.8°B.44°C.26°D.40°解析∵sin(－50°)＜0，cos130°＝－cos50°＜0，∴点P(sin(－50°)，cos130°)在第三象限.又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.又∵点P的坐标可化为(cos220°，sin220°)，∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.B考点自测1解析答案123452.已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是()A.0，π4B.π4，512πC.512π，π2D.π12，512π解析答案123453.在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝55，则A等于()A.30°B.45°C.60°D.120°解析答案123454.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)满足p∥q，则tanC2等于()A.14B.12C.2D.4解析∵向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)，由p∥q，得S＝(a＋b)2－c2＝2ab＋a2＋b2－c2，即12absinC＝2ab＋2abcosC，14sinC＝1＋cosC，∴sinC1＋cosC＝4.则tanC2＝sinC1＋cosC＝4.故选D.解析答案12345D5.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是()A.－π2，－π4B.－π4，π4C.0，π2D.π4，3π4解析答案12345返回题型分类例1已知函数f(x)＝cosx·sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；解由已知，得f(x)＝cosx12sinx＋32cosx－3cos2x＋34＝12sinxcosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.题型一三角函数的图象与性质解析答案(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值.解因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数,在区间－π12，π4上是增函数,f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.解析答案思维升华已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2，x∈R(其中ω0).(1)求函数f(x)的值域；解f(x)＝32sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1)＝2(32sinωx－12cosωx)－1＝2sin(ωx－π6)－1.由－1≤sin(ωx－π6)≤1，得－3≤2sin(ωx－π6)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1].跟踪训练1解析答案(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间.解由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－π6)－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z).所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z).解析答案例2(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；题型二三角函数和解三角形解析答案(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.解由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，由题意知A为锐角，所以cosA＝32.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立.因此12bcsinA≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.解析答案思维升华已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x－7π6.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；解∵f(x)＝2cos2x－sin2x－7π6＝(1＋cos2x)－sin2xcos7π6－cos2xsin7π6＝1＋32sin2x＋12cos2x＝1＋sin2x＋π6.∴函数f(x)的最大值为2.跟踪训练2要使f(x)取最大值，则sin2x＋π6＝1，∴2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ＋π6，k∈Z.故f(x)取最大值时x的取值集合为xx＝kπ＋π6，k∈Z.解析答案(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)＝32，b＋c＝2，求实数a的最小值.解由题意知，f(A)＝sin2A＋π6＋1＝32，化简得sin2A＋π6＝12.∵A∈(0，π)，∴2A＋π6∈π6，13π6，∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3.在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc.由b＋c＝2，知bc≤b＋c22＝1，即a2≥1.∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1.解析答案例3已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n),函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2).(1)求m，n的值；解由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.题型三三角函数和平面向量解析答案(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0φπ)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.解析答案思维升华已知向量m＝cosx2，－1，n＝3sinx2，cos2x2，设函数f(x)＝m·n.跟踪训练3(1)求函数f(x)的单调递增区间；解∵m＝cosx2，－1，n＝3sinx2，cos2x2，函数f(x)＝m·n，∴f(x)＝3sinx2cosx2－cos2x2＝32sinx－1＋cosx2＝32sinx－12cosx－12＝sinx－π6－12.令2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.解析答案因此函数f(x)的单调递增区间为2kπ－π3，2kπ＋2π3，k∈Z.(2)求函数f(x)在x∈[0，π]时的零点.解由f(x)＝0，得sinx－π6＝12.∴x－π6＝π6＋2kπ，或x－π6＝5π6＋2kπ，k∈Z，解析答案返回∴x＝π3＋2kπ，或x＝π＋2kπ，k∈Z.又∵x∈[0，π]，∴x＝π3或π.∴f(x)在区间[0，π]上的零点是π3和π.练出高分123451.已知函数f(x)＝Asin(x＋π4)，x∈R，且f(5π12)＝32.(1)求A的值；解∵f(5π12)＝Asin(5π12＋π4)＝Asin2π3＝32A＝32，∴A＝3.解析答案12345(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f(3π4－θ).解由(1)知f(x)＝3sin(x＋π4)，故f(θ)＋f(－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sinθ＋cosθ)＋22(cosθ－sinθ)]＝32，∴6cosθ＝32，∴cosθ＝64.又θ∈(0，π2)，∴sinθ＝1－cos2θ＝104，∴f(3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝304.解析答案12345解析答案2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0,0φπ2，x∈R)的最小正周期为π，且图象上一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；12345解析答案(2)当x∈0，π12时，求f(x)的最值.解由0≤x≤π12，得π6≤2x＋π6≤π3，所以当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)＝2sin2x＋π6取得最小值f(0)＝1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)＝2sin2x＋π6取得最大值fπ12＝3.12345解析答案3.(2015·江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；解由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.12345(2)求sin2C的值.解由正弦定理知，ABsinC＝BCsinA，所以sinC＝ABBC·sinA＝2sin60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2×217×277＝437.解析答案123454.已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cosωx,1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；解f(x)＝m·n＝23sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.∵f(x)的最小正周期为π，ω＞0，∴T＝2π2ω＝π.∴ω＝1.解析答案12345解析答案(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA→·BC→的值.123455.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0＜φ＜π2的部分图象如图所示.12345(1)求φ及图中x0的值；解由题图得f(0)＝32，所以cosφ＝32，因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，故7π6＜πx0＋π6＜13π6，由f(x0)＝32得cosπx0＋π6＝32，所以πx0＋π6＝11π6，x0＝53.解析答案12345解析答案(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋13，求函数g(x)在区间－12，13上的最大值和最小值.返回