高考数学-云师堂8.2

8.2坐标系与参数方程(选修4-4)专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理23)(2012全国,理23)(2013全国Ⅰ,理23)(2013全国Ⅱ,理23)(2014全国Ⅰ,理23)(2014全国Ⅱ,理23)(2015全国Ⅰ,理23)(2015全国Ⅱ,理23)解答题从近五年的高考试题来看,该部分的试题是综合性的,题目中既有极坐标的问题,又有参数方程的问题.考查的重点有:极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化;已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程,求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程.在备考中,一要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程,熟记常用抛物线、椭圆的参数方程.二要抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化;参数方程及其应用;极坐标方程与参数方程的综合应用.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三求直线或曲线的极坐标方程和参数方程【思考】如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程?例1(2015全国Ⅰ高考)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.答案答案关闭解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为12.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对于几个特殊位置的直线与圆的极坐标方程要熟记,在求直线与圆的极坐标方程时,可直接应用记忆的结论;熟记常用的直线的参数方程与抛物线、椭圆的参数方程,如果已知它们的普通方程,在求参数方程时,可以直接应用记忆的结论.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标方程表示,则需将直角坐标方程转化为极坐标方程.3.求一般的直线和曲线的极坐标方程时,先建立极坐标系,再设直线或曲线上任一点的极坐标为(ρ,θ),根据已知条件建立关于ρ,θ的等式,化简后即为所求的极坐标方程.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.答案答案关闭解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得𝑥=𝑥1,𝑦=2𝑦1.由𝑥12+𝑦12=1,得x2+𝑦22=1,即曲线C的方程为x2+𝑦24=1.故C的参数方程为𝑥=cos𝑡,𝑦=2sin𝑡(t为参数).(2)由𝑥2+𝑦24=1,2𝑥+𝑦-2=0,解得𝑥=1,𝑦=0或𝑥=0,𝑦=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12𝑥-12,化为极坐标方程并整理,得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=34sin𝜃-2cos𝜃.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-命题热点一命题热点二命题热点三极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【思考】如何进行直线和曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的互化?例2(2015全国Ⅱ高考)在直角坐标系xOy中,曲线C1:𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数,t≠0),其中0≤απ.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.答案答案关闭解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立𝑥2+𝑦2-2𝑦=0,𝑥2+𝑦2-23𝑥=0,解得𝑥=0,𝑦=0或𝑥=32,𝑦=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(23cosα,α).所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sin𝛼-π3.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥,𝑥≠0.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈0,π2.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的坐标.答案答案关闭解:(1)C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为𝑥=1+cos𝑡,𝑦=sin𝑡(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tant=3,t=π3.故点D的直角坐标为1+cosπ3,sinπ3,即32,32.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三参数方程与极坐标方程的应用【思考】求解参数方程与极坐标方程应用问题的一般思路是什么?例3已知曲线C1的参数方程是𝑥=2cos𝜑,𝑦=3sin𝜑(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且点A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2,π3.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.答案答案关闭解:(1)由已知可得A2cosπ3,2sinπ3,B2cosπ3+π2,2sinπ3+π2,C2cosπ3+π,2sinπ3+π,D2cosπ3+3π2,2sinπ3+3π2,即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).(2)设P(2cosφ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2015湖南高考)已知直线l:𝑥=5+32𝑡,𝑦=3+12𝑡(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.答案答案关闭解:(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将𝑥=5+32𝑡,𝑦=3+12𝑡代入②,得t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-12-规律总结拓展演练1.熟记几个特殊位置的直线和圆的极坐标方程:(1)直线过极点:θ=α;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a;(3)直线过点M𝑏,π2且平行于极轴:ρsinθ=b;(4)圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(5)圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcosθ;(6)圆心位于M𝑟,π2,半径为r:ρ=2rsinθ.2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程:(1)过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝛼(t为参数);(2)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑦0+𝑟sin𝜃(θ为参数);专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-13-规律总结拓展演练(3)椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的参数方程为𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(θ为参数);(4)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(t为参数).3.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.4.在平面解析几何中,有些点的轨迹问题,用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难,如果适当地采用极坐标法来处理,求它的极坐标方程会使问题变得简单些.求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里的方法基本上相同.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-14-规律总结拓展演练1.(2015江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+22ρsin𝜃-π4-4=0,求圆C的半径.答案答案关闭解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+22𝜌22sin𝜃-22cos𝜃-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为6.专题八8.2坐标系与参数方程(选修4—4)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-15-规律总结拓展演练2.