高考数学-云师堂6.1

专题六直线、圆、圆锥曲线6.1直线与圆专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2013全国Ⅰ,理20)(2013全国Ⅱ,理12)(2015全国Ⅱ,理7)选择题解答题从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线方程的应用【思考】在利用已知条件设直线方程时,应注意些什么?求直线方程的基本方法是什么?例1(2015山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案解析解析关闭如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=|-3𝑘-2-2𝑘-3|1+𝑘2=1,解得k=-43或k=-34.答案解析关闭D专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思1.在设直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.2.在设直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解.3.求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时,要注意方程的选择、分类讨论思想的应用.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=1,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=1的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解答案解析解析关闭由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则𝑂𝑃1与𝑂𝑃2不平行,所以a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=1,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=1一定有唯一解.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-圆的方程及其应用【思考】圆的方程有几种不同形式?求圆的方程的基本方法有哪些?例2(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=|𝑚+1|1+𝑚2=𝑚2+2𝑚+1𝑚2+1=1+2𝑚𝑚2+1,当m0时,1+2𝑚𝑚2+11,故1+2𝑚𝑚2+1无最大值;当m=0时,r=1;当m0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).所以r≤1+1=2,即rmax=2.故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.答案解析关闭(x-1)2+y2=2专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思1.圆的三种方程:(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).(3)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).2.求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法:通过圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-12,12C.[-2,2]D.-22,22命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:当x0=0时,显然存在;当x0≠0时,如图,过点M作☉O的切线,切点为N,连接ON.点M的纵坐标为1,MN与☉O相切于点N.设∠OMN=θ,则90°θ≥45°(当点N在x轴上时,θ=45°),∴sinθ≥22,即|𝑂𝑁||𝑂𝑀|≥22.∵|ON|=1,∴|OM|≤2.∵M为(x0,1),∴𝑥02+1≤2,∴𝑥02≤1,∴-1≤x0≤1,且x0≠0.∴x0的取值范围为[-1,1].答案解析关闭A专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-直线与圆、圆与圆的位置关系【思考】如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系?例3(1)(2015广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0(2)设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C既与线段AB有公共点,又与直线l有公共点,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭(1)设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|𝑚|5=5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.(2)∵圆与直线l有交点,∴圆心到直线的距离小于等于半径,即𝑎21+𝑎2≤1,∴a2∈0,1+52.∵圆C与线段AB相交,∴a≤2,且|𝑎-1|2≤1,即1-2≤𝑎≤2+1,𝑎≤2,1-2≤a≤2,因此可得实数a的取值范围是1-2,1+52.答案解析关闭(1)A(2)1-2,1+52命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思1.判定直线与圆的位置关系的两种方法:(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ0⇔相交,Δ0⇔相离,Δ=0⇔相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr⇔相交,dr⇔相离,d=r⇔相切.判定圆与圆的位置关系与判定直线与圆的位置关系类似.2.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3与直线x-y-4=0和圆A:x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=4答案解析解析关闭当两圆圆心的连线与已知直线垂直时,所求圆的半径最小,易知所求圆C的圆心在直线y=-x上,则设其坐标为C(c,-c).∵圆A的方程为(x+1)2+(y-1)2=2,∴A(-1,1),则点A到直线x-y-4=0的距离d=|-1-1-4|2=32.设圆C的半径为r,则2r=32−2=22,∴r=2.即点C(c,-c)到直线x-y-4=0的距离等于2.故有|2𝑐-4|2=2,∴c=3或c=1.结合图形(图略)知当c=3时,圆C在直线x-y-4=0下方,不合题意,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案解析关闭A命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-与圆有关的轨迹问题【思考】求轨迹方程常用的方法有哪些?例4已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为𝑥24+𝑦23=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|𝑄𝑃||𝑄𝑀|=𝑅𝑟1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得|3𝑘|1+𝑘2=1,解得k=±24.当k=24时,将y=24x+2代入𝑥24+𝑦23=1,整理,得7x2+8x-8=0,解得x1=-4+627,x2=-4-627.所以|AB|=1+𝑘2|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-题后反思1.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、相关点法(坐标代入法)等,解决此类问题时要读懂题目给出的条件,进行合理转化,准确得出结论.2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-对点训练4(2015广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.1直线与圆考情分析高频考点核心归纳高频考点解:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C32,0,半径r=12|OC1|=12×3=32,其方程为𝑥-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因为