高考数学-云师堂7.2

7.2概率、统计与统计案例专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理4)(2013全国Ⅰ,理3)(2013全国Ⅱ,理14)(2014全国Ⅰ,理5)(2015全国Ⅰ,理19)(2015全国Ⅱ,理3)(2015全国Ⅱ,理18)选择题填空题解答题从近五年高考试题来看,高考对概率的考查重点是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型等;高考对统计与统计案例的考查密度小,有增强的趋势,考查的重点有用样本估计总体、回归分析和独立性检验等.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是互斥事件的概率、古典概型、几何概型、用样本估计总体、回归分析、独立性检验等.专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五古典概型的概率【思考】怎样判断一个试验模型是古典概型?如何计算古典概型的基本事件总数?例1(1)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78(2)(2015陕西西北工大附中二模)某班班会,准备从包括甲、乙两人的7名同学中选派4名学生发言,要求甲、乙两人中至少有1人发言,则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为.答案解析解析关闭解析:(1)(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有C42A22=3(种),对4名同学按1,3分组共有C41种,所以周六、周日都有同学参加共有3×A22+C41A22=14(种).由古典概型得所求概率为1416=78.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选D.(2)由题意可分两种情况:甲、乙两人中一人发言,包括情况有C21C53A44=480(种),甲、乙两人都发言,包括C52A44=240(种),则满足条件的发言总数为480+240=720,甲、乙两人被选中且发言时不相邻包括的情况有C52A22A32=120(种),则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为120720=16.答案解析关闭(1)D(2)16专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思1.具有以下两个特点的概率模型简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.对古典概型的基本事件总数,利用两个计数原理或者排列组合的知识进行计算.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1(1)某冬奥会开幕,在冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中,有2名来自莫斯科国立大学,有4名来自圣彼得堡国立大学,现从这6名志愿者中随机抽取2人,至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是()A.35B.25C.115D.1415(2)三人乘同一列火车,火车有10节车厢,则至少有2人上了同一车厢的概率为()A.29200B.725C.27100D.718答案解析解析关闭(1)P=1-C42C62=1-615=35.故选A.(2)每人选车厢有10种情况,则基本事件总数为10×10×10=1000,2人上了同一车厢有C32×C101×9=270种情况,3人上了同一车厢有10种情况,故至少有2人上了同一车厢的概率为2801000=725.答案解析关闭(1)A(2)B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-几何概型的概率【思考】几何概型有什么特点?解答几何概型问题的关键点是什么?例2(1)如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=3,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概率为.(2)(2015湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“|x-y|≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-解析:(1)因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°,在Rt△ABD中,AD=3,∠B=60°,所以BD=𝐴𝐷tan60°=1,∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,使BM1”,则可得∠BAM∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式,得P(N)=30°75°=25.(2)由题意知0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤1.如图①,当x+y≥12时,p1=1-12×1221=78.如图②,当|x-y|≤12时,p2=1-18-181=68=34.如图③,11212𝑥dx=12lnx|121=12ln1-ln12=ln2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-图①图②图③∴p3=12+ln2.∵p3-p2=ln2−14=ln2-lne14=ln4𝑒40,p3-p1=ln2−38=ln2-ln𝑒38=ln16𝑒380,∴p2p3p1.答案：(1)25(2)B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-题后反思1.几何概型的两个基本特点:(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性:每个试验结果的发生具有等可能性.2.求解几何概型的概率问题的关键点是:一定要正确确定试验的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-对点训练2(1)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+3cosx≤1”发生的概率为()A.14B.13C.12D.23(2)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为.答案解析解析关闭解析:(1)由sinx+3cosx≤1,得sin𝑥+π3≤12,由于0≤x≤π,则π2≤x≤π,由几何概型概率公式得,所求概率P=π-π2π=12.(2)由题意知,这是个几何概型问题,𝑆阴𝑆正=1801000=0.18,由S正=1,则S阴=0.18.答案解析关闭(1)A(2)0.18命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-频率分布直方图的应用【思考】观察频率分布直方图能得到哪些信息?例3经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.所以T=800𝑋-39000,100≤𝑋130,65000,130≤𝑋≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系.在这些数据中,直接的有组距、频率组距,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两个等量关系:小长方形面积=组距×频率组距=频率,小长方形面积之和等于1,即频率之和等于1,就可以解决频率分布直方图的有关问题.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练3(2015河北石家庄高三质检)某学校为了解学生身体发育情况,随机从高一学生中抽取40人作样本,测量出他们的身高(单位:cm),身高分组区间及人数见下表:分组[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)人数a814b2命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-(1)求a,b的值并根据题目补全直方图;(2)在所抽取的40人中任意选取两人,设Y为身高超过170cm的人数,求Y的分布列及数学期望.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-解:(1)由题图可得a=0.03×5×40=6,b=40-6-8-14-2=10.补全的直方图如图所示.(2)由题意知,Y的可能取值为0,1,2.P(Y=0)=C282C402=63130;P(Y=1)=C281C121C402=2865;P(Y=2)=C122C402=11130.Y012P63130286511130E(P)=0×63130+1×2865+2×11130=35.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-回归方程的求法及回归分析【思考】两个变量具备什么关系才能用线性回归方程来预测?如何判断两个变量具有这种关系?例4(2015全国Ⅰ高考)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题七7.2概率、统计与统计案例考情分析高频考点核心归纳高频考点-19-xyw∑i=18(xi-x)2∑i=18(wi-w)2∑i=18(xi-x)(yi-y)∑i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=𝑥𝑖,𝑤=18∑𝑖=18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果