45用正交变换化二次型为标准形

《线性代数》下页结束返回第5节用正交变换化二次型为标准形一、正交变换二、利用正交变换化二次型为标准形下页《线性代数》下页结束返回5.1正交变换的概念与性质定义1设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换性质1正交变换是可逆线性变换；性质2正交变换不改变向量的内积.下页X＝PY为正交变换.正交变换的概念正交变换的性质证明：因为(,)(,)XXPYPY()()TPYPYTTYPPY()TTYPPYTYY(,).YY《线性代数》下页结束返回5.2实对称矩阵的性质定理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的ri重特征值li对应ri个线性无关的特征向量.下页定理3设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使1TPAPPAP12(,,,),ndiaglll其中为A的n个特征值，nlll,,,21正交矩阵P的n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.《线性代数》下页结束返回5.3用正交变换化二次型为标准形（要求：熟练掌握！）(1)写出二次型的矩阵形式；(2)求出A的全部特征值l1,l2,…,ln；(3)对每一个特征值li,解方程(liE-A)X=o,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为X＝PY；(5)所求二次型的标准形为2221122.nnfyyylll下页《线性代数》下页结束返回例1.用正交变换化下列二次型为标准形．323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf解:二次型的f系数矩阵为324262,423A矩阵A的特征方程为324262423llllAE0)7)(2(2ll解得l1=-2,l2=l3=7．724)7(262023llll124262023)7(lll1240210023)7(lll21023)7(lll下页《线性代数》下页结束返回对于l1=-2，解方程组(-2E-A)X=o,1(2,1,2),T得基础解系T)1,0,1(2，T)2,4,0(3.将其正交化得将其单位化得1212(,,).333T将其单位化得222(,0,),22T32222(,,).636TT)1,0,1(23,(1,4,1)T得基础解系下页解得l1=-2,l2=l3=7．对于l2=l3=7，解方程组(7E-A)X=o,例1.用正交变换化下列二次型为标准形．323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf《线性代数》下页结束返回123222326122,,0,33222326P令则通过正交变换1122332223261220,33222326xyxyxy222123277.fyyy下页例1.用正交变换化下列二次型为标准形．323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf将二次型f化为标准形《线性代数》下页结束返回例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf变换矩阵P．解：f的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为3030004aaA200,040.004由已知条件得即4(9-a2)=32，解得a=1,a=-1(舍去).由A相似于对角阵Λ，得A的特征值为l1=2，l2=l3=4．对于l1=2，解方程组(2E-A)X=o,得基础解系1(0,1,1),T下页故A相似于对角阵Λ，所以有｜A｜＝｜Λ｜,TPAP1PAP求a及正交《线性代数》下页结束返回把1单位化，得对应于l1=2的单位特征向量111(0,,);22T对于l2=l3=4，解方程组(4E-A)X=o,（注意求基础解系的过程）4EA4-40000-14-304-30-10000-1101-100000100-1下页例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf变换矩阵P．求a及正交《线性代数》下页结束返回4EA4-40000-14-304-30-10000-1101-1000100-10000000100-1(4EA)Xo的一般解为x20x1x3,其基础解系为2(1,0,0),T3(0,1,1).T下页例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf变换矩阵P．求a及正交《线性代数》下页结束返回2(1,0,0),T311(0,,).22T所求的正交矩阵为12301011(,,)0.2211022P下页000100-100(4EA)Xo的一般解为x20x1x3,其基础解系为2(1,0,0),T3(0,1,1).T例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf变换矩阵P．求a及正交将2,3正交化标准化得《线性代数》下页结束返回例3.已知二次型323121232221321222),,(xxxxxbxxaxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形23224yyf,求a,b的值及正交及正交变换矩阵P．111111abbA000,010.004由A相似于对角阵Λ,得A的特征值为l1=0,l2=1,l3=4．对于l1=0,解方程组(0E-A)X=o,得基础解系1(1,0,1),T下页由已知条件得故A相似于对角阵Λ，所以｜A｜＝｜Λ｜Tr(A)=Tr(Λ),TPAP1PAP2(1)025ba3.1ab,解得即解：f的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为《线性代数》下页结束返回把1单位化，得对应于l1=0的单位特征向量111(,0,),22T类似可得对应于l２=１的单位特征向量为2111(,,),333T对应于l３=４的单位特征向量为3121(,,),666T所求的正交矩阵为12311123612(,,)0.36111236P下页例3.已知二次型323121232221321222),,(xxxxxbxxaxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形23224yyf,求a,b的值及正交及正交变换矩阵P．《线性代数》下页结束返回作业：122页7(2)(3)结束