高校自主招生学科解读

高校自主招生学科解读主讲：贾广素2010年10月23日与高考一起准备自主招生我国实行自主招生的高校，到2010年已达到了80所.同学们较为关心的话题主要有两条：一.怎样进行自主招生？二.自主招生的标准是什么？对于这么两点，我在《决胜自主招生》一书中已谈得非常明白，请同学们自己去参阅.与高考一起准备自主招生当然，同学们还会有一种困惑：究竟是准备自主招生，还是准备高考？如果两手抓会不会顾此失彼？到底以哪一个为主？实际上，这是把高考与自主招生完全对立造成的错觉.简单地说，高考强调分数，只要达到录取分数线就可以录取；自主招生并非不看分数，只是分数不再是唯一的指标了，除了分数以外，自主招生还要考察同学们的其他能力与素质。所以这两者并不完全冲突，而是可以有效地结合.1.概况从2003年开始，我国就推出了自主招生改革，当年有22所高校，可以拿出总招生计划的5%的名额进行自主招生，被称为5%自主招生.随着自主招生制度的改革，试点自主招生的学校越来越多，到目前为止，拥有5%自主招生资格的高校已达到82所，招生模式与2003年相比没有太大的变化，都是先由学校进行考试，根据考试情况给学生自主招生资格.获得自主招生资格的学生，需参加高考，在高考录取中，学校按事先承诺的录取优惠（具体录取优惠，从达到当地的一本线录取，到过一本线后低于该校在当地录取线的20分至60分不等）进行录取.与高考一起准备自主招生在一本院校中，除了5%的自主招生外，还有一类自主招生，就是始于2006年的上海交通大学与复旦大学的自主选拔录取。这两所高校的自主录取选拔与5%自主招生的程序完全一致，但比5%自主招生更进一步——获得自主录取资格的学生（也称预录取）的学生，虽然也要参加高考，但高考成绩不作为录取的依据，而只作为重要的参照。这里我们说：既然是参照，当然也可以不参照，被预录取的学生，有的没有达到一本线，也可以被录取.在过去的几年中，这两所高校录取中，也确实遇到过少数考生，在获得预录取资格后，高考成绩没过一本线照样被录取的情况.其实，有的学生就被学校通过再次面试录取.除非差得离谱.当然，这也仅限于上海地区的考生.2.特点嫁接在高考之上，先取得自主招生资格（录取优惠），然后再参加高考。以高考科目考试为主，依旧强调学生的中学学科成绩与名次。试图从多个角度考察、评价学生，但目前的重点还是集中在考察学生的学习能力方面。3.发展趋势发展趋势主要有两种：一是：高校联考+自主招生；二是：学业水平测试+自主招生高校联考+自主招生三个小联考：（1）：清华大学、上海交通大学、西安交通大学、中国科技大学、南京大学的五校联考；（2）北京大学、香港大学、北京航空航天大学的三校联考；（3）北京科技大学、北京交通大学、北京邮电大学、北京林业大学、北京化工大学的五校联考3.发展趋势学业水平测试+自主招生南开大学、天津大学、山东大学等；8A+2B以上4.自主招生的评价标准1.所在中学要求；2.学业成绩要求；3.竞赛要求；4.推荐与自荐。4.4推荐与自荐的说明4.4.1不要把自荐信写成“评语”；4.4.2自荐信应有个性；4.4.3自荐信要客观、真实；5.希望与要求有针对性的准备希望参加自主招生的同学，应该尽针对大学自主招生的要求，进行能力与素质的培养，准备的时间更长一些，准备更充分一些。自主招生试卷分析学习方法：学习：从不懂到懂，从懂到通，从通到悟()()加速从懂到通梳理知识，实现从通到悟能力提高自主招生试卷分析学习方法：学习：从不懂到懂，从懂到通，从通到悟()()加速从懂到通梳理知识，实现从通到悟能力提高()()考试：相信自己的能力调整心态，选择相应的策略应试技巧复习：抓知识点，抓灵活性，抓能力培养自主招生试卷分析学习方法：应试：1、吃准题意，抓住知识点，遇到容易题不轻视，遇到难题不心虚2、灵活运用基本概念和基本方法，知识点综合性强，注意找解题捷径3、磨刀不误砍柴功，仔细分析题意，提高解题能力自主招生数学解读（一）主讲：贾广素高校自主招生数学试题特点解读一.高校自主招生数学试题特点解读试题分析的高校范围：北京大学、清华大学、浙江大学、北京科技大学、香港大学、中国科技大学、复旦大学、上海交通大学、同济大学、南京大学、南开大学、武汉大学、苏州大学、山东大学、西安交通大学、南京航空航天大学、华南理工大学、华东理工大学、华中师范大学、华东师范大学、中国矿业大学、哈尔滨工业大学、南京农业大学、东南大学、西北工业大学等25所高校试题；试题分析的时间范围：2003年至2010年自主招生与保送生试题一.高校自主招生数学试题特点解读关注数学思维品质，加强数学学科和哲学方法的考查，呈现以下几个特点：重运算推理，轻计算繁琐；重概念本质，轻背诵结论；重内容交叉，轻知识覆盖；重现实背景，轻纯粹形式；重数学基础与时俱进，轻累偏旧内容的循环考查。一.高校自主招生数学试题特点解读基础性学科性方法性应用性拓展性趣味性1.1基础性新课程强调，在数学的学习过程中，形式化表达是一项基本要求，但不能仅限于形式化表达，更加要强化对数学本质的认识.即“重概念本质，轻背诵结论.”1.1基础性1.(2010){|()}{|(())}.(1);(2)().MxfxxNxffxxMNfxRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个单调增函数，是否有＝？若有，请证明（1）【证明】若M，显然有MN成立；若M，任取0xM，即有00()fxx，从而000(())()ffxfxx，即0xN.故MN.本题的第（1）问主要考察了集合间的“包含”关系的概念.1.1基础性1.(2010){|()}{|(())}.(1);(2)().MxfxxNxffxxMNfxRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个单调增函数，是否有＝？若有，请证明（2）若()fx是一个在R单调递增的函数，一定有MN.证明如下：若N，则NM，又由（1）知MN，从而有MN.若N，任取0xN，即有00(()).ffxx下证00()fxx，用反证法证明之.1.1基础性1.(2010){|()}{|(())}.(1);(2)().MxfxxNxffxxMNfxRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个单调增函数，是否有＝？若有，请证明若00()fxx，不妨设00()fxx，由于()fx是一个在R单调递增的函数，从而000(())()ffxfxx，与00(()).ffxx矛盾！1.1基础性1.(2010){|()}{|(())}.(1);(2)().MxfxxNxffxxMNfxRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个单调增函数，是否有＝？若有，请证明同理00()fxx时，有000(())()ffxfxx，矛盾！故必有00()fxx，即0xM，从而有.NM又由（1）知MN，从而有MN.1.1基础性1.(2010){|()}{|(())}.(1);(2)().MxfxxNxffxxMNfxRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个单调增函数，是否有＝？若有，请证明第（2）问主要又考察了集合“相等”的概念，并利用反证法证得.1.1基础性这里“()fx在R上单调递增”是十分重要的，在此条件下，当{|()}nNxfxx时仍有MN，但若()fx是R的减函数时，结论则未必成立，例如()fxx，此时{|()}{0}Mxfxx，而{|(())}{0,1}Nxffxx，此时.MN1.1基础性222.(2009),,3(1).xyRxxyyxy年中国科技大学求证：对任意不等式恒成立22,,,,xxyyxy分析：待证的不等式中出现了等元素，可先想到配方将它们联系起来，于是想到了(求差)比较法.222222222223(1)(3)3331()(3)33243333()242433()(1)0.24xxyyxyxyxyyyxyyyyxyyyxy证法一：2230210,11.3(1).yxyxyxxyyxy当且仅当且即且时等号成立恒成立1.1基础性x这种证法在求差比较后，将二元二次六项式转化为以为主元的二次三项式，先后两次配方获得证明（或直接证0，见《决胜自主招生》一书）.1.1基础性222221111()222xyxxyyxyxy分析二：由对称性，易知当时等号成立，又222111,()2,2222.xyxyxy当时，于是想到了综合法1.1基础性22211111,,()22()22222xxyyxyxy证法二：223(1)(11).xxyyxyxy三式相加便得当且时取“＝”待定不等式中等号成立的条件，往往是寻找证明的突破口.1.2学科性“数学是思维的体操，是思维的科学.”在学习数学时要不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、符合表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这是数学的学科特点.1.2学科性2..3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有个根号年上交通大学的实根海1.2学科性解法一：32xxx令21y，2122xyy，21......2nnxyy，12(,,...,0)nyyynxy1yx现证明：1xy若，122xy则122xxxy2212yy12yy123...nyyyyx依此类推，矛盾；1xy若，123...nyyyyx同理，.矛盾1xy故，2213xyx即03.x或1.2学科性2..3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有个根号年上交通大学的实根海提示：这里对n取何值并没有加以限制，我们可以先从n=1时出发来寻找一般规律。1.2学科性2..3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有个根号年上交通大学的实根海3.xx先证证法二：3,xx若2323.xxxxxx则22323.xxxxxx故，222323,xxxxxxxx矛盾！1.2学科性2..3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有个根号年上交通大学的实根海3xx同理，若也会产生矛盾！3.xx故03.xx解得＝或03xx经检验知或均为原方程的解.1.2学科性123123122331122331123123123123,.min{,,}min4.{,,},max{,,}max{,(20,.0)}8aaabbbaaaaaabbbbbbaaabbbaaabbb已年北京学知若求证：大123122331aaaaaaaaa分析：由及，可以联想到韦达定理，可以先构造三次方程试试.1.2学科性32123(),,,fxaxbxcxdxxx如果的三个零点分别为那么三次方程的韦达定理是什么？123123122331123()()()(),,,()..fxxxxxxxbxxxacxxxxxxadxxxa设展开得比较对应的系数，得三次方程韦达定理1.2学科性12312233112311232,,,aaaaaaaaaabaaacbbbc证明：设321123322123(),,;(),,.fxxaxbxcaaagxxaxbxcbbb则函数有三个零点函数有三个零点123()()()().gxxbxbxb123123,.aaabbb由对称性，不妨设11.ab由已知，得1111213()()()()0.gaababab3211120.aaabac即1.2学科性321111112()0,0,faaaabaccc于是()().fxgx