浙教版初中数学八年级下册方差和标准差-知识讲解

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用方差和标准差——知识讲解【学习目标】1.了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；2.知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；3.能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题.【要点梳理】要点一、方差和标准差1.方差在一组数据12,,nxxx…，中，设它们的平均数是x，各数据与平均数的差的平方的平均数222212)(...)(1xxxxxxnSn叫做这组数据的方差.方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.2.标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致.（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小.方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.【典型例题】类型一、方差和标准差1.一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（）A．1B．2C．3D．4精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：222212)(...)(1xxxxxxnSn计算.【答案】B【解析】该组数据的平均数是0，所以215s2222(2)(1)12=2.【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为______．【答案】0.8.2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（）A.1B.2C.2D.4【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根．【答案】D；【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4．故选D．【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根．举一反三：【变式】下列说法：其中正确的个数有（）（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好；（2）一组数据的众数只有一个；（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4；（4）一组数据的标准差一定是正数．A．0个B．1个C．2个D．4个【答案】B.提示：（1）正确.类型二、方差和标准差的实际应用3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135分析此表得出如下结论：（）（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.举一反三：【变式】（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是x甲=85,x乙=85，x丙=85，x丁=85，方差是2S甲=3.8，2S乙=2.3，2S丙=6.2，2S丁=5.2，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B.解：∵2S甲=3.8，2S乙=2.3，2S丙=6.2，2S丁=5.2，∴2S乙＜2S甲＜2S丁＜2S丙，∴成绩最稳定的是乙．故选B．4.（2016春•商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？（2）哪种水稻的产量比较稳定．【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定．【答案与解析】解：（1）19.89.910.11010.2105=++++=x甲，19.410.310.89.7105=++++9.8=x乙，所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高；（2）甲中水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.244．∴0.02＜0.244，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用∴产量比较稳定的水稻品种是甲．【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．【答案】5.85.2xx乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56SS乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：甲109.81010.210乙9.9101010.110（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．【答案与解析】解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，植株编号12345甲种苗高75458乙种苗高64565精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，（2）∵S2甲＞S2乙，∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大．举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．【答案】解：1(9582888193798478)858x甲(分)，1(8375808090859295)858x乙(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．(2)由(1)知85xx甲乙分，所以22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s甲，22221[(8385)(7585)(9585)]418s乙．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为xx甲乙，22ss乙甲，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．