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DOABC奔驰定理一、奔驰定理(以奔驰标志而有名):已知O是ABC内的一点,AOBAOCBOC,,的面积分别为AS,BS,CS,求证:0OCSOBSOASCBA如图,延长OA与BC边相交于点D则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSAODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD(合比)CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0OCSOBSOASCBA推论:O是ABC内的一点,且0OCOBOAzyx,则zyxSSSAOBCOABOC::::二、奔驰定理与三角形的心1.O是ABC的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOA2.O是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0OCOBOAcba3.O是ABC的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::02sin2sin2sinOCCOBBOAA4.O是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::0tantantanOCCOBBOAAOCABD证明:如图O为三角形的垂心,DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:,CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::练习:1.已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P,满足0PCPBPA,若实数满足:APACAB,则的值为()A.2B.23C.3D.62.若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,0OCOBOA,则OBOA()A.21B.0C.1D.213.点O在ABC内部且满足022OCOBOA,则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是()A.0B.23C.45D.344.ABC的外接圆的圆心为O,若OCOBOAOH,则H是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心5.O是平面上一定点,CBA、、是平面上不共线的三个点,若222OBBCOA222ABOCCA,则O是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心6.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OCOBOAmOH,则实数m的值为()A.21B.-1C.1D.217.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.已知ABC三个顶点CBA、、,若CABCCBABACABAB2,则ABC为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形9.(19清华标准能力测试)已知O是ABC内一点,220OAOBOC,则OBCABCSS=___10.(18清华领军计划)已知O是ABC内一点,::4:3:2,AOBBOCCOASSS设,AOABAC则__.__11.(19山东联赛)已知O是ABC内一点,11,34AOABAC则OABOBCSS=___12.已知ABC满足3,4cb,O是外心,且1,2AOABAC则ABC的面积____参考答案:C、D、C、D、D、、D、C1243379.,10.,11.,12.25,59952或
本文标题:奔驰定理
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