球的表面积和体积第一课时课件-数学高一必修2第一章立体几何初步1.4人教A版

第一章立体几何初步1.4球的表面积与体积1.了解球的体积、表面积的推导过程.（难点）2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题.（重点）3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．（难点）制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？把氢气球充满，需要多少氢气呢？怎样求球的体积?r=r=mVVm怎样求球的体积?h实验：排液法测小球的体积放入小球前hH小球的体积等于它排开液体的体积实验：排液法测小球的体积放入小球后怎样求球的体积和表面积？割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.AO球体由N个这样形状的几何体组成球体的分割1.球的体积334RV=这样可以求出球体的体积为球的表面积球面不能展平成平面，我们要用其他方法求它的表面积：分割近似求和化为准确和24SR=球球面被分割成n个网格，表面积分别为nSSSS,,321，，则球的表面积为nSSSSS=321iViSOO球的表面积半径是的球的表面积：R24SR=球的表面积是大圆面积的4倍例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.2.3证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为343VRp=球,V圆柱2322,RRRpp=?所以，23V=球V圆柱（2）因为24SRp=球，S圆柱侧=2224RRRpp?，所以,S=球S圆柱侧.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8【变式练习】B【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.12【例2】(1)火星的直径约为地球直径的一半，地球的体积约是火星体积的多少倍？(2)木星的表面积约为地球表面积的120倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？【解析】(1)设火星的半径为R，则地球的半径为2R，因此V地V火＝43π2R343πR3＝8.故地球的体积约是火星体积的8倍．(2)设木星和地球的半径分别为r、R.依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝230R.所以V木V地＝43πr343πR3＝43π230R343πR3＝24030.故木星的体积约是地球体积是24030倍．【总结提升】求解球的体积的大小问题，实际是转化为求它们的半径之间的关系．【变式练习】一个球的大圆面积扩大到原来的100倍，那么这个球的体积有什么变化？【答案】球的体积扩大到原来1000倍．例3.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【解析】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝a2，所以S1＝4πr21＝πa2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.【总结提升】1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解．2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1－1－65所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．29πB．28πC．25πD．26π【解析】由三视图得直观图如图，三棱锥O－ABC中OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S球＝4π2922＝29π.【答案】A例4.过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积．【解析】如图，设过A、B、C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3cm，∴O′为正三角形ABC的中心，∴AO′＝33AB＝3(cm)．设OA＝R，则OO′＝12R，∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝32R＝3(cm)，∴R＝2cm，∴V球＝43πR3＝323π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的体积为323πcm3，表面积为16πcm2.【总结提升】球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【变式训练】【答案】C【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为43π×(3x)3，其余两个球的体积之和为43πx3＋43π×(2x)3，∴43π×(3x)3÷43πx3＋43π×（2x）3＝3.球体积表面积球的体积与表面积1.球的体积公式：34VR.3=2.球的表面积公式：2S4R.=1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶6D．1∶8【解析】∵半径比为1∶2，且S＝4πR2，∴表面积比为半径比的平方，故选B.【答案】BC2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.323B.4πC.2πD.433、两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A．2B.2C.32D.1234C4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对B5.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=13×12R2×R=16R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.C6.一个球的表面积是16π,则它的体积是.【解析】设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,故R=2.所以球的半径为2,体积V=πR3=答案:4332.332.37.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大到原来的___倍，体积扩大到原来的___倍.【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V，则扩大后的半径为3R，表面积为，体积为V′,所以答案：9272表2表S4π(3R)==9，S4πR334π(3R)V3==27.4VπR3927表S