2016年高考理科数学全国Ⅲ卷试题及答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=(x2)(x3)0,T0SxxxP，则SIT=(A)[2，3](B)（-，2]U[3,+）(C)[3,+）(D)（0，2]U[3,+）（2）若z=1+2i，则41izz(A)1(B)-1(C)i(D)-i（3）已知向量12(,)22BAuuv,31(,),22BCuuuv则ABC=(A)300(B)450(C)600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是学.科.网(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个（5）若3tan4，则2cos2sin2(A)6425(B)4825(C)1(D)1625（6）已知432a，344b，1325c，则（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（8）在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）4π（B）92（C）6π（D）323（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，学科&网A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.学科.网三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和，，其中0（I）证明是等比数列，并求其通项公式（II）若，求（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C：22yx的焦点为F，学科&网平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.（Ⅰ）求f＇（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明≤2A.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224.（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；学.科网（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|fxxaa（I）当a=2时，求不等式()6fx的解集；学科&网（II）设函数()|21|,gxx当xR时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）D（2）C（3）A（4）D（5）A（6）A（7）B（8）C（9）B（10）B（11）A（12）C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）32（14）3（15）21yx（16）4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得1111aSa，故1，111a，01a.由nnaS1，111nnaS得nnnaaa11，即nnaa)1(1.由01a，0得0na，所以11nnaa.因此}{na是首项为11，公比为1的等比数列，学科.网于是1)1(11nna．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4t，28)(712iitt，55.0)(712iiyy，89.232.9417.40))((717171iiiiiiiiytytyytt，99.0646.2255.089.2r.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.（Ⅱ）由331.1732.9y及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271iiiiittyyttb，92.04103.0331.1ˆˆtbya.所以，y关于t的回归方程为：ty10.092.0ˆ.将2016年对应的9t代入回归方程得：82.1910.092.0ˆy.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN//，221BCTN.又BCAD//，故TN学.科.网平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN//.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.（Ⅱ）取BC的中点E，连结AE，由ACAB得BCAE，从而ADAE，且5)2(2222BCABBEABAE.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA，学科.网由题意知，)4,0,0(P，)0,2,0(M，)0,2,5(C，)2,1,25(N，)4,2,0(PM，)2,1,25(PN，)2,1,25(AN.设),,(zyxn为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取)1,2,0(n，于是2558|||||||,cos|ANnANnANn.（20）解：由题设)0,21(F.设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22baRbQaPbbBaA.记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax......3分（Ⅰ）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak.所以FQAR∥.......5分（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为12xy.....12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()2sin2(1)sinfxaxax．（Ⅱ）当1a时，学科&网'|()||sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa．………4分当01a时，将()fx变形为2()2cos(1)cos1fxaxax．令2()2(1)1gtatat，则A是|()|gt在[1,1]上的最大值，(1)ga，(1)32ga，且当14ata时，()gt取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa．令1114aa，解得13a（舍去），15a．（ⅰ）当105a时，()gt在(1,1)内无极值点，|(1)|ga，|(1)|23ga，|(1)||(1)|gg，所以23Aa．（ⅱ）当115a时，由(1)(1)2(1)0gga，知1(1)(1)()4aggga．又1(1)(17)|()||(1)|048aaaggaa，所以2161|()|48aaaAgaa．综上，2123,05611,18532,1aaaaAaaaa．………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin2(1)sin|2|1|fxaxaxa