单侧假设检验

8.3单侧假设检验一、单侧假设检验的概念二、例以上介绍的假设检验，归纳起来为下面两种形式：(1)原假设H0：=0，备择假设H1：≠0，其中0为某一常数；(2)原假设H0：1=2，备择假设H1：1≠2，其中1，2分别为两相互独立的总体X与Y的参数。这类假设的共同特点是，将检验统计量的观察值与临界值比较，无论是偏大还是偏小，都应否定H0，接受H1。因此，通常也称为双侧假设检验。但在某些实际问题中，例如，对于设备、元件的寿命来说，寿命越长越好，而产品的废品率当然越低越好，同时均方差越小也是我们所希望的。一、单侧假设检验的概念(3)原假设H0：≥0(或≤0)，备择假设H1：＜0(或＞0)。其中为总体X的未知参数，0为一常数；(4)原假设H0：1≥2(或1≤2)，备择假设H1：1＜2(或1＞2)。其中1，2为相互独立的总体X与Y的未知参数。(3)(4)两种统计假设，常称之为单侧假设，相应的假设检验称为单侧（左、右）假设检验。因此，在实际应用中，除了上述的双侧假设检验之外，还有许多其它形式的假设检验问题：例1某厂生产的电子元件的寿命(单位：h)X～N(，2)，其中未知。但据以往的经验，电子元件的寿命一直稳定在=200小时，现该厂对生产工艺作了某些改进，为了了解技术革新的效果，从刚生产的电子元件中任意抽取16只，测得寿命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。试问：工艺改进后，在检验水平=0.05下是否可以认为元件的平均寿命有了显著的提高？解显然，该问题是要判断新产品的寿命是否服从＞200小时的正态分布？由此，建立假设原假设H0：≤0=200，备择假设H1：＞200。0二、例分两种情况讨论：1)当=0时，由于2未知，取统计量)1(~/0ntnSXT)1(/0ntnSX因此，对给定的小正数，由P{T≥t(n-1)}得临界值t(n-1)。显然，是概率为的小概率事件或t≥t(n-1)是H0的拒绝域。2)当0时，应当考察但由于未知，故仍取统计量nSXT/)1(~/0ntnSXT作为检验统计量。nSXnSX//0由于)1(/)1(/0ntnSXntnSX于是)1(/)1(/0ntnSXPntnSXP由此可得)1(/0ntnSXT即更是小概率事件。因此如果统计量T的观察值)1(/0ntnsxt则应拒绝H0，接受H1；如果t＜t(n-1)，则只能接受H0。综合上述两种情况，对于假设检验问题H0：≤0，H1：0，只要由样本值计算统计量T的观察值t≥t(n-1)，就应当拒绝H0，接受H1；否则就接受H0。由样本观察值具体计算得375.223x707.40s由=0.05查t分布表得临界值7351.1)15()1(05.0tnt7351.1)15(297.216/707.40200375.223/05.00tnsxt因为所以，应拒绝H0，接受H1，即认为经过工艺改进后，元件的平均寿命有了显著的提高。其它类似的情况见书P178页表8-1。现在我们来解决例1。例2某工厂生产的固体燃料推进器的燃料率服从正态分布N(μ，σ2)，μ=40cm/s，σ=2cm/s。现在用新方法生产了一批推进器,从中随机地取n=25只,测得燃烧率的样本均值为=41.25cm/s.设在新方法下总体均方差仍为2cm/s,这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平α=0.05。xH1:μμ0（即假设新方法提高了燃烧率）解按题意需检验假设H0:μ=μ0=40（即假设新方法没有提高燃烧率）而现在，z的值落在拒绝域中。所以我们在显著性水平α=0.05下，拒绝H0。即认为这批推进器的燃料率较以往生产的有显著地提高。645.1125.325/24025.41znx/0这是右边检验问题，其拒绝域如下式所示，即为z=≥z0.05=1.645这批灯泡是否合格？是否有显著差异？这批灯泡的寿命与下考察下列问题试在显著性水平样本方差测得只现随机抽取样本未知小时单位设某厂生产的灯泡寿命例)2(1000)1(05.0.120946,16.,1000),(~):(322202sxNX由题设可知：（1）是一个双侧检验；（2）是一个左侧检验！100010001100：；：）检验假设：解：（HH，即该批灯泡不合格。故拒绝005.075.1)15()1(8.141201000964Htntt)1(||20ntnsxt拒绝域：无显著差异。接受即灯泡寿命与当100013.2)15(8.141201000964||,05.0025.0tt100010002100：；：）检验假设：（HH例3用机器包装食盐，假设每袋盐的净重X(单位：g)服从正态分布N(，2)，规定每袋标准重量500g，标准差不能超过10g。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重为497，507，510，475，488，524，491，515，484。试问这天包装机工作是否正常()？05.0解依题设，需检验假设H0：，H1：及2≤102，：2102。5000500(1)检验假设H0：，H1：5000500由于2未知，应选择检验统计量)1(~/500ntnSXT由=0.05，查t分布表得临界值306.2)8()1(025.02/tnt由样本观察值具体计算，得499x03.16s187.09/03.16500499/500nsxt因为，故可以认为平均每袋盐的净重为500g，即机器包装没有产生系统误差。306.2187.0t(2)检验假设≤102，。20:H22110:H这是方差的单侧检验问题，选取检验统计量)1(~10)1(2222nSn由=0.05，查2分布表得临界值5.15)8()1(205.02n5.1556.201003.16)19(10)1(22222sn故拒绝，接受，即认为其方差超过102。即包装机工作虽然没有系统误差，但是不够稳定。因此，在显著性水平=0.05下，可以认定该天包装机工作不够正常。0H1H例4有两台车床生产同一种型号的钢球，根据已往的经验可以认为，这两台机床生产的钢球的直径均服从正态分布。现从这两台车床生产的产品中分别抽出8个和9个钢球，测得钢球的直径如下(单位：mm)：甲车床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙车床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。试问据此是否可以认为乙车床生产的产品的方差比甲车床小(取=0.05)？解提出假设H0：σ12≤σ22，H1：σ12σ22选取检验统计量)1,1(~212221nnFSSF由=0.05，查F分布表得临界值50.3)8,7()1,1(05.021FnnF由样本观察值具体计算，得，096.021s026.022s50.369.3026.0096.02221ssf又故应拒绝H0，接受H1，即可以认为乙车床产品的直径的方差比甲车床小。例5为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法(无添加剂)及新方法(添加该种添加剂)各浇制了10块预制板，其承载数据(单位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。设两种方法所得的预制板的承载力均服从正态分布。试问新方法能否提高预制板的承载力(取=0.05)？，解用X，Y分别表示两种方法下预制板的承载力。依题设，，因不知σ12，σ22，是否相等，故首先应检验假设),(~211NX),(~222NYH0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22由假设知应选择检验统计量：)1,1(~212221nnFSSF由=0.05，查F分布表得临界值03.4)9,9()1,1(025.0212/FnnF由样本观察值具体计算，得325.321s225.222s49.1225.2325.32221ssf又)9,9()1,1(975.0212/1FnnF248.003.41)9,9(1025.0F因为0.248＜1.49＜4.03。故应接受H0，即认为两种方法的方差无显著差异，可以认为相等，亦即σ12=σ22其次在σ12=σ22的前提下，检验假设：：1≥2，：1＜2。0H1H由于两总体方差相等，因此可选择检验统计量)2(~112121nntnnSYXTW由=0.05，查t分布表得临界值734.1)18()2(05.021tnnt23.76x又43.79y21010225.29325.392)1()1(21222211nnsnsnsw775.2295.4101101775.243.7923.761121nnsyxtw由于－4.295＜－1.734，所以应拒绝，即认为加进添加剂生产的预制板承载力有明显提高。例6某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产一批导线中取样品9根，测得S=0.007(欧姆)，设总体为正态分布.问在水平=0.05下以能否认为这批导线的标准差显著地偏大?解：假设：005.0:005.0:10HH507.1568.15005.0007.08222又507.158205.02分布表查得临界值由拒绝H0，即认为这批导线的标准差显著地偏大。例7按规定，每100g的罐头，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，现从某厂生产的一批罐头中任取17个，测得VC的含量（单位：mg）为16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25。已知VC的含量服从正态分布，试以0.025的检验水平检验该批罐头的VC含量是否合格。解：假设：0100:;21:HH由样本观测算得：2287.3,2017/340sx065.11787.321200nSxt12.2)16(025.0025.0t查正态分布表得而由)16(12.2065.1025.0tt由于故接受原假设，即可以为该批罐头的VC含量是合格的。例8某治金工作者对锰的溶化点作了4次试验，结果分别为：1269℃,1271℃,1263℃,1265℃。假定数据服从正态分布，在条件下，试检验：（1）这些结果是否符合于公布的平均温度1260℃；（2）测定值的均方差小于等于2℃解（1）假设：.:;2601:0000HH41223.13)(31,2651iixxsCx836.043.13126012670nsxt由于方差2未知，故采用t—检验法。由样本值得，1824.3)3(4,05,0025.0ttn分布表得临界值查由),3(182.3836.3025.0tt由于故拒绝原假设H0，即不能认为结果符合公布的数字1260℃。（2）假设：.:,2:0100HCH应采用2—检验法：10440)1(,2022sn由样本值处得首先)3(815.720