数系的扩充历史和复数的概念

§3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标•1．通过数系的扩充过程，知道实际需求在数系扩充过程中的作用。•2．知道复数的基本概念，能根据定义判断实数、虚数、纯虚数。•3．知道复数相等的充要条件，学会解决复数相等问题。正整数在古代，首先有的是正整数，古代的人为记录一天的劳作结果，常常以结绳来计数。我国古书《易经》中就有“结绳而治”的记载。结绳记事正整数随着生产生活的需要，人们慢慢发现，仅仅表示出正整数是不够的。如果分配食物时，2个人分三只苹果，每个人应该得到多少呢？自然地，分数就出现了。等额分配问题正整数分数班级信息栏负数的引入重大进步在生产实践中，人们往往需要测量相反意义的量，例如海拔，高度等等，因此负数也就应运而生了。海平面珠穆朗玛峰吐鲁番盆地比海平面低155米记作-155米高度看作0.正整数分数无理数正整数分数负数在“数”的发展史上，希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。无理数的发现—重大突破毕达哥拉斯设斜边长是x,根据勾股定理可得，11xx2=12+12=22x正整数分数无理数正整数分数无理数负数数够用了吗？数集扩充到实数集R以后，我们可以解-2=0这样的方程但是方程+1=0还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.如何解决这个问题？2x2x1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数LeonhardEuler（1707-1783）欧拉1801年高斯系统使用了i这个符号使之通行于世（1777—1855）高斯JohannCarlFriedrichGauss1．引入新数i,并规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字母Z表示.(3)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.复数的概念izab实部虚部(2)数系的扩充,aRbR其中称为虚数单位.i写出下列复数的实部与虚部.,32i,0,3421i,25ii6解:4的实部为4,虚部为0;2-3i的实部为2,虚部为-3;0的实部为0,虚部为0;的实部为,虚部为;i34212134i25的实部为5,虚部为;26i的实部为0,虚部为6。复数的分类请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.,32i,0,3421i,25ii6解:实数有;虚数有;纯虚数有.4，0,32i,3421i,25ii6i6,2i2i例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？1(1)zmmi解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m跟踪练习1:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数222(1)zmmmi11mm或11mm且2m（1）（2）（3）如何定义两个复数相等？反之,也成立.如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若iiabcd,则想一想即:两复数(,,,)abicdiabcdR与相等的充要条件是acbd且.转化求方程组的解的问题解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组yxyxxyx3252解得:23yx例2:已知()(2)i(25)(3)ixyxyxxy与求实数xy（1）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=2i（2）若x，y为实数，且求x，y.2224xyxyii跟踪练习2x=-3,y=4探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。两个实数可以比较大小实数与虚数不可以比较大小虚数与虚数不可以比较大小若为实数，那么使的的值的是多少?m221132,zmmmi12zzm224254,zmmmi拓展提升223200540mmmmm1.虚数单位i的引入；3.复数的分类2.复数有关概念：学习小结复数相等复数的代数形式:复数的实部、虚部虚数、纯虚数1,2525,zmRzmmmmi、复数则为纯虚数的充要条件是()22,6310aRaaaaia2、设复数是纯虚数，则的取值为（）SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充课后作业：课本P55/习题3.1A组/第1,2,题拓展延伸：1．数系还能再扩充吗？2．作为一个新数集，如何定义复数的四则运算呢？与君共勉数学是无穷的科学。问题是数学的心脏。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。