大连理工大学信号18-希尔伯特-黄变换

2021/3/9大连理工大学1第18章希尔伯特—黄变换大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年12月内容概要•§18.1概述•§18.2固有模态函数（IMF）的概念•§18.3经验模式分解（EMD）•§18.4希尔伯特—黄变换•§18.5EMD与HHT的应用2021/3/9大连理工大学3§18.1概述2021/3/9大连理工大学4•各类信号处理方法的特点–傅里叶变换：整体变换，不能表示随时间变化的频率，只适用于分析线性平稳信号；–STFT：可分析非平稳信号，但时—频窗是固定的，只可分析缓变信号；–小波分析：具有多分辨性，但是没有局部自适应性；–希尔伯特—黄变换（HHT）：是为分析非平稳信号而提出的。2021/3/9大连理工大学5•希尔伯特-黄变换的概念–希尔伯特—黄变换（HHT）是20世纪末由N.E.Huang等人首次提出的一种新的信号分析理论方法。–其主要创新：固有模态函数（IntrinsicModeFunction,IMF）和经验模态分解（ExpiericalModeDecomposition,EMD）.–通过EMD，将信号分解成IMF之和，对每个IMF做Hilbert变换，可以得到有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。–HHT是一种新的自适应时频分析方法，消除人为因素。分辨率高，时频聚集性好，适合非平稳非线性分析。2021/3/9大连理工大学6§18.2固有模态函数（IMF）的概念2021/3/9大连理工大学7•固有模态函数（IMF）的概念–IMF需满足以下两个条件：•在整个数据集中，极值点的个数与零交叉点的个数必须相等或至多相差一个点。•在任意时刻，由极大值点构成的上包络和由极小值点构成的下包络的均值为零。–其中第一个条件类似于高斯正态平稳过程的传统窄带要求，而第二个条件可以保证由IMF求出的瞬时频率有意义。–之所以称这样的分量为固有模态函数（又称为内在模式分量），是因为它表示了信号中振荡的模式。2021/3/9大连理工大学8•IMF举例2021/3/9大连理工大学9•IMF举例的说明：–上页图(a)给出了典型的IMF。图中极大值点和极小值点共13个，而过零点共13个，所以图示信号满足条件（1）。上包络v1(t)和下包络v2(t)对t轴是对称的，所以上下包络的均值为零，满足条件（2）。–图(b)给出了非IMF的示意图。图中上包络v1(t)与下包络v2(t)显然不关于时间轴对称，其均值不为零；极大值点与极小值点共有12个，而过零点只有7个。这个信号不满足条件（1）和条件（2），所以它不能作为IMF。2021/3/9大连理工大学10•IMF的进一步说明：–Hilbert变换中，瞬时频率定义为相位函数相对于时间的一阶导数。–一个信号只有在它关于信号均值局部对称下才能定义瞬时频率。IMF表示了信号中振荡的模式，与信号的瞬时频率密切相关。–对于每一个IMF，其瞬时频率可求。–实际应用中的信号大多不是IMF，因此用Hilbert变换不易描述瞬时频率。–为了获得瞬时频率，需要将信号分解为IMF。–IMF不再要求窄带，可以是幅度频率调制的。2021/3/9大连理工大学11•一个真实的IMF：2021/3/9大连理工大学12§18.3经验模式分解（EMD）2021/3/9大连理工大学13•经验模式分解（EMD）–是Huang等人引入的一个对信号进行分解，以获得IMF的方法，又称为筛法；–三个假设：•信号至少有一个极大值点和一个极小值点；•特征时间尺度有极值点间的时间推移定义；•如果整个信号只包含曲折点而不包含极值点，可以先微分一次或多次找到极值点，然后再所得到的分量进行积分以得到最后结果。2021/3/9大连理工大学14•EMD分解方法：【设原信号为】–(1)确定x(t)的所有局部极大值点和局部极小值点。–(2)用三次样条分别对所有局部极大值拟合成上包络，对所有局部极小值拟合成下包络。–(3)计算上下包络的均值：。–(4)原信号减去均值m(t)，得到一个初步的模式函数，。–(5)判断是否满足IMF条件：若不满足，对循环执行(1)—(4)。若满足，则为一IMF，为余项，对继续循环分解，当小于预先确定的阈值或为单调函数时，过程结束。()xtmax()etmin()etmaxmin()[()()]/2mtetet()()()ictxtmt()ict()ict()irt()()()iirtxtct()ict()irt2021/3/9大连理工大学15•EMD分解原理图x(t)1()rt1()ct2()rt2()ct()irt()ict()nrt()nctEMD分解示意图2021/3/9大连理工大学16•信号的IMF表示–其中，为各IMF分量，为余项，是信号的趋势项。–从分解过程中可以看出，EMD主要利用待分解信号自身的特点，算法比较简单，自适应性强，而且不需要对信号作任何假设，因而可以实现对多种不同信号自适应的分解。1()()()ninixtctrt()ict()nrt2021/3/9大连理工大学17•EMD分解举例•【例】复合信号的分解–设信号由3各信号复合而成：（1）频率为2Hz、幅度为0.5的正弦波；（2）频率为5Hz、幅度为0.5的三角波；频率为0.3Hz、幅度为1的三角波。采样频率为100Hz,供2200各样本点。试进行信号分解。•【解】–分别采用EMD和小波分解对信号进行分解。结果见下页：2021/3/9大连理工大学18•EMD分解举例2004006008001000120014001600180020002200-202(a)2004006008001000120014001600180020002200-202(b)2004006008001000120014001600180020002200-202(c)2004006008001000120014001600180020002200-202(d)2004006008001000120014001600180020002200-202(e)2004006008001000120014001600180020002200-202(a)2004006008001000-0.200.2(b)d-1100200300400500-0.200.2(c)d-250100150200250-101(d)d-320406080100120140-202(e)d-4204060-202(f)d-5204060-505(g)a-5EMD分解小波分解2021/3/9大连理工大学19•进一步说明–EMD分解得到的第1个分量IMF1包含了原信号中5Hz的三角波，然后依次提取出2Hz的正弦波和0.3Hz的三角波。余项是信号的最低频率成分，表示信号的中心趋势，可以看出其幅度几乎为零。3个IMF分量与原信号的相关系数都超过了0.99。EMD分解结果准确地反映了信号的自身的特点。–小波分解第5层的粗节出现了频率为0.3Hz的三角波，而频率为2Hz的正弦波和5Hz的三角波均未独立出现（选用其他小波基函数，效果没有明显改变）。可见，小波分解的效果与EMD分解的效果相差很大。2021/3/9大连理工大学20•EMD分解举例2021/3/9大连理工大学21§18.4希尔伯特—黄变换2021/3/9大连理工大学22•希尔伯特—黄变换（HHT）的概念–希尔伯特-黄变换是Huang等人在1998年提出经验模式分解方法后，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析方法。–美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-HuangTransform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。–其主要内容包括：EMD分解和希尔伯特谱。2021/3/9大连理工大学23•HHT的主要内容–通过EMD分解，将信号分解成各IMF（一般为有限数目）之和。–对每个IMF进行Hilbert变换，可以获得有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。–信号最终被表示为时频平面上的能量分布，称为Hilbert谱。–进而还可以得到边际谱。2021/3/9大连理工大学24•HHT的用途–HHT是一种新的具有自适应的时频分析方法；–它可根据信号的局部时变特征进行自适应的时频分解，消除了人为因素；–克服了传统方法中用无意义的谐波分量来表示非平稳、非线性信号的缺陷；–可得到很高的时频分辨率，具有良好的时频聚集性；–非常适合对非平稳信号和非线性信号进行分析。2021/3/9大连理工大学25•希尔伯特谱–在利用EMD方法分解得到信号x(t)的各个IMF后，可对每一个IMF分量做Hilbert变换，即––与为共轭复数对。构造解析信号为–式中，幅值和相位分别为：()ict1()[()]dπiicHctt()ict[()]iHct()izt()()[()]()exp[j()]iiiiiztctHctatt()iat()it22()()[()][()]()arctan()iiiiiiatctHctHcttct2021/3/9大连理工大学26•希尔伯特谱（续）–进一步可以求出瞬时频率为–这样原始数据x(t)可以表示为()itd()()diittt11()Re()exp[j()]Re{()exp[j()d]}niiiniiixtattattt2021/3/9大连理工大学27•希尔伯特谱（续2）–这里省略了残差，称为Hilbert谱，记–进一步可得到Hilbert边际谱为–式中，T表示总的数据长度，精确地描述了信号的幅值在整个频率段上随时间和频率的变化规律；而反映了在整个信号时间跨度上，每个频率成分对幅值的贡献，即表示在整个时间跨度上统计学意义上的累积幅度。()nrt1(,)Re{()exp[j()d]}niiiHtattt0()(,)dThHtt(,)Ht()h2021/3/9大连理工大学28•HHT的关键技术问题–曲线拟合问题：直接影响EMD分解的结果，从而影响HHT的完善与应用。目前采用的方法：•三次样条插值法；•分段幂函数法；•改进的三次样条插值法。–端点处理问题：有限长数据端点处理，采用的方法：•特征波法；•包络延拓法；•边界全波法；•波形匹配预测法2021/3/9大连理工大学29§18.5EMD与HHT的应用2021/3/9大连理工大学30•基于EMD的机械故障诊断–问题：由于齿轮磨损和疲劳裂纹等因素的影响，振动信号的幅度和相位会发生变化，产生幅度和相位调制。–故障齿轮的振动信号往往表现为回转频率对齿合频率及其倍频的调制，在频谱图上形成以齿合频率为中心、两个等间隔分布的边频带。–故齿轮故障诊断实际上是对边频带的识别。2021/3/9大连理工大学31•正常与故障齿轮信号的对比2021/3/9大连理工大学32•正常与故障齿轮信号的IMF对比正常裂纹断齿2021/3/9大连理工大学33•HHT在电力系统信号分析中的应用–问题：电力系统发生故障时的信号多为非平稳信号。正常运行时，其负荷也是典型的非平稳信号。如图：2021/3/9大连理工大学34–对上页数据进行傅里叶分析和HHT分析，如图：2021/3/9大连理工大学35•分析说明：–从Hilbert谱可以清楚滴看到符合频率的连续性；–在一个周期内，频率约为1/96Hz，呈现很强的周期性；–HHT边际谱的分辨率明显高于傅里叶谱。2021/3/9大连理工大学36•希尔伯特谱与边际谱2021/3/9大连理工大学37•视觉诱发电位的提取（EMD分解）2021/3/9大连理工大学38–视觉诱发电位的提取（VEP提取的结果）2021/3/9大连理工大学39–频谱分析2021/3/9大连理工大学40TheEndofThisSection2021/3/9大连理工大学41§6.3时频分析方法在心音信号分析中的应用•心音信号–心音是心脏工作周期中各种震动的叠加。•心杂音–由心脏和邻近大血管内血液湍急和涡流引起的振动音。•频