专题讲座三知能训练轻松闯关

行胜于言1．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为()A.2－1B．1C.2＋1D．2解析：选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，所以a·b＝0，所以|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b－c|≥||a－b|－|c||＝2－1.2.(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD→＋BE→)·(BE→－CE→)的值为()A．－1B．－12C.12D．2解析：选D.注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD→＋BE→＝2BC→.又BE→－CE→＝BE→＋EC→＝BC→，且|BC→|＝12T＝12×2ππ＝1，因此(BD→＋BE→)·(BE→－CE→)＝2BC→2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________．解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以sin∠ADB＝22.所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB＝2.在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB＝BCsin∠BAC，所以AC＝6.答案：64．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．行胜于言解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π4，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，所以ω2＝π4＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π25．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2，x∈R的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈－6，－23时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解：(1)由题图知A＝2，T＝8，因为T＝2πω＝8，所以ω＝π4.又图象经过点(－1，0)，所以2sin－π4＋φ＝0.因为|φ|π2，所以φ＝π4.所以f(x)＝2sinπ4x＋π4.(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋π2＋π4＝22sinπ4x＋π2＝22cosπ4x.因为x∈－6，－23，所以－3π2≤π4x≤－π6.所以当π4x＝－π6，即x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；当π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.6．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，行胜于言由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bcsinA＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝277.故sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12absinC＝332.1．已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx(x∈R)．(1)当x∈0，π2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解：(1)f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，因为x∈0，π2，所以f(x)的单调递增区间为0，π6.(2)由f(C)＝2sin2C＋π6＋1＝2，得sin2C＋π6＝12，而C∈(0，π)，所以2C＋π6∈π6，13π6，所以2C＋π6＝56π，解得C＝π3.因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，所以sinAsinB＝12.由正弦定理得ab＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，即a2＋b2－ab＝9.②行胜于言联立①②，解得a＝3，b＝23.2．(2015·高考福建卷)已知函数f(x)＝103sinx2cosx2＋10cos2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.解：(1)因为f(x)＝103sinx2cosx2＋10cos2x2＝53sinx＋5cosx＋5＝10sin(x＋π6)＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sinα0＝45.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞45.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞45.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sinxk＞45.即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.