河南省三门峡市陕州中学2016届高三数学下学期尖子生专题训练试题(四)理

12015-2016学年下期高三尖子生专题训练（四）（理科）数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；)1．复数212ii的共轭复数是A.35iB.35iC.iD.i2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)3．在等差数列811162naaa中，，则数列前9项之和9S等于（）A．24B．48C．72D．1084．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，πp3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3；p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π.其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p45．若函数22()(sincos)2cosfxxxxm在0,2上有零点，则m的取值范围为（）A.1,22B.1,2C.1,22D.1,36．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角7．已知324log0.3log3.4log3.615,5,,5abc则()．A．abcB．bacC．acbD．cab8．设)10()],6([)10(,2)(xxffxxxf则)5(f的值为（）A．10B．11C．12D．139．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）2A．23B．83C．43D．16310．已知函数()sincosfxxax的图象的一条对称轴是53x，则函数()sincosgxaxx的最大值是（）A．223B．233C．43D．26311．设1e、2e分别为具有公共焦点1F、2F的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足1212PFPFFF,则122212eeee的值为A.22B.2C.2D.112．设()fx是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有(1)(1)0fxfx恒成立.如果实数mn、满足不等式组22(623)(8)03fmmfnnm，那么22mn的取值范围是A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中横线上．)13．由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为________;14．在ABC中，60,3,CABAB边上的高为4,3则AC+BC=.15．若点P在曲线C1：221169xy上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是．16．设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤fπ6对一切x∈R恒成立，则①f11π12＝0；②f7π10fπ5；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)317．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．18．已知等差数列}{na的公差不为零，且53a，521,,aaa成等比数列．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若数列}{nb满足21123222nnnbbbbaL，求数列}{nb的前n项和nT．19．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．20．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值．21．已知函数()1(0,)xfxeaxae为自然对数的底数.⑴求函数()fx的最小值；⑵若()fx≥0对任意的xR恒成立，求实数a的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1nnnnnnennnnneN其中.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D,过点B作圆O的切线，4与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.（Ⅰ）求证：BF=EF;（Ⅱ）求证：PA是圆O的切线.23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，l是过定点P（4,2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C的极坐标方程为4cos.（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同两点M、N,求PMPN的取值范围.24)(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式2324xaxx的解集为A.（Ⅰ）若a=1，求A;（Ⅱ）若A=R,求a的取值范围.5参考答案一、选择题；（1）C2，C3.D4.A5.A.6.D7.C8.B9.B10.A11.A12.C二、填空题;13.16314.1115.1016.①③三、解答题17．【解答】(1)由已知得sinC＋sinC2＝1－cosC，即sinC22cosC2＋1＝2sin2C2，由sinC2≠0得2cosC2＋1＝2sinC2，即sinC2－cosC2＝12，两边平方得：sinC＝34.(2)由sinC2－cosC2＝12＞0得π4＜C2＜π2，即π2＜C＜π，则由sinC＝34得cosC＝－74，由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27，所以c＝7＋1.18.（1）解：在等差数列中，设公差为)0(dd，2152aaaQ，2333)()2)(2(dadada，……2分化简得01052dd，2d……4分122)3(5)3(3nndnaan……6分（2）解：1123242nnnbbbbaL①1123112422nnnnnbbbbbaL②②-①得：221nnb，nnb112……8分当1n时，111ab1,,12,22nnbnn……10分2213nnT……12分19.【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－2，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．(1)易得＝(－2，－2，5)，＝(－22，0,0)，于是cos〈，〉＝＝43×22＝23.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.(2)易知＝(0,22，0)，＝(－2，－2，5)．设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则即－2x－2y＋5z＝0，22y＝0.不妨令x＝5，可得m＝(5，0，2)．同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则即－2x－2y＋5z＝0，－22x＝0.不妨令y＝5，可得n＝(0，5，2)．于是cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝27·7＝27，6从而sin〈m，n〉＝357.所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为357.(3)由N为棱B1C1的中点，得N22，322，52.设M(a，b,0)，则＝22－a，322－b，52.由MN⊥平面A1B1C1，得即22－a·(－22)＝0，22－a·(－2)＋322－b·(－2)＋52·5＝0.解得a＝22，b＝24，故M22，24，0.因此＝22，24，0，所以线段BM的长||＝104.20.【解答】设动点P的坐标为(x，y)，由题意有(x－1)2＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝k(x－1)，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||·||＋||·||＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2k2·1k2＝16.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，·取最小值16.721.解：（1）由题意0,()xafxea，由()0xfxea得lnxa.当(,ln)xa时,()0fx；当(ln,)xa时，()0fx.∴()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增.即()fx在lnxa处取得极小值，且为最小值，其最小值为ln(ln)ln1ln1.afaeaaaaa（4分）（2）()0fx≥对任意的xR恒成立，即在xR上，min()0fx≥.由（1），设()ln1.gaaaa，所以()0ga≥.由()1ln1ln0gaaa得1a.∴()ga在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，∴()ga在1a处取得极大值(1)0g.因此()0ga≥的解为1a，∴1a.（8分）（3）由（2）知，因为1a，所以对任意实数x均有1xex≥0，即1xxe≤.令kxn(*,0,1,2,3,1)nknN…,，则01knken≤.∴(1)()knnknkeen≤.∴(1)(2)21121()()()()1nnnnnnnneeeennnn≤……1111111neeeee.（12分）（22）证明：（Ⅰ）因为BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，所以EBBC.又因为ADBC，所以ADBE∥，可知BFCDGC∽△△，FECGAC∽△△，所以BFCFEFCFDGCGAGCG，，所以BFEFDGAG.因为G是