2016年浙江省高考文科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则UPQ（）ð=A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n3.函数y=sinx2的图象是4.若平面区域30,230,230xyxyxy夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A.355B.2C.322D.55.已知a，b0，且a≠1，b≠1，若4log1b，则A.(1)(1)0abB.(1)()0aabC.(1)()0bbaD.(1)()0bba6.已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()fx满足：()fxx且()2,xfxxR.A.若()fab，则abB.若()2bfa，则abC.若()fab，则abD.若()2bfa，则ab8.如图，点列,nnAB分别在某锐角的两边上，且*1122,,nnnnnnAAAAAAnN，*1122,,nnnnnnBBBBBBnN.(P≠Q表示点P与Q不重合)若nnndAB，nS为1nnnABB△的面积，则A.nS是等差数列B.2nS是等差数列C.nd是等差数列D.2nd是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.10.已知aR，方程222(2)4850axayxya表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．13．设双曲线x2–23y=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=23，求cosC的值．17.（本题满分15分）设数列{na}的前n项和为nS.已知2S=4，1na=2nS+1，*Nn.（I）求通项公式na；（II）求数列{2nan}的前n项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()fx=311xx，[0,1]x.证明：（I）()fx21xx；（II）34()fx32.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A二、填空题9.【答案】80；40．10.【答案】(2,4)；5．11.【答案】2；1．12．【答案】－2；1．13．【答案】(27,8)．14．【答案】6915．【答案】7三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos27C.【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．试题解析：（1）由正弦定理得sinsin2sincosBCAB，故2sincossinsin()sinsincoscossinABBABBABAB，于是，sinsin()BAB，又,(0,)AB，故0AB，所以()BAB或BAB，因此，A（舍去）或2AB，所以，2AB.（2）由2cos3B，得5sin3B，21cos22cos19BB，故1cos9A，45sin9A，22coscos()coscossinsin27CABABAB.考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17.【答案】（1）1*3,nnanN；（2）2*2,13511,2,2nnnTnnnnN.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421aaaa，则1213aa，又当2n时，由11(21)(21)2nnnnnaaSSa，得13nnaa，所以，数列{}na的通项公式为1*3,nnanN.（2）设1|32|nnbn，*nN，122,1bb.当3n时，由于132nn，故132,3nnbnn.设数列{}nb的前n项和为nT，则122,3TT.当3n时，229(13)(7)(2)351131322nnnnnnnT，所以，2*2,13511,2,2nnnTnnnnN.考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（2）217.【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,ADBECF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC，又因为//EFBC，1BEEFFC，2BC，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，所以BF平面ACFD.（2）因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角，在RtBFD中，33,2BFDF，得21cos7BDF，所以直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为217.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】（1）p=2；（2）,02,.【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.由抛物线的第一得12p，即p=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为24,F1,0yx，可设2,2,0,1Atttt.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,0s,由241yxxsy消去x得2440ysy，故124yy，所以212,Btt.又直线AB的斜率为212tt，故直线FN的斜率为212tt，从而的直线FN:2112tyxt，直线BN:2yt，所以2232,1tNtt，设M(m,0),由A,M,N三点共线得：222222231tttttmtt，于是2221tmt，经检验，m0或m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是,02,.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111xxx，从而得到结论；第二问，由01x得3xx，进行放缩，得到32fx，再结合第一问的结论，得到34fx，从而得到结论.试题解析：(Ⅰ)因为4423111,11xxxxxxx由于0,1x，有411,11xxx即23111xxxx，所以21.fxxx(Ⅱ)由01x得3xx，故312111333311222122xxfxxxxxx，所以32fx.由(Ⅰ)得221331244fxxxx，又因为11932244f，所以34fx，综上，33.42fx考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】