(完整版)最小二乘法

课前探究学习课堂讲练互动【课标要求】1．了解最小二乘法．2．理解线性回归方程的求法．3．掌握线性回归方程的意义．【核心扫描】1．线性回归方程的求法．(重点)2．线性回归方程的意义．(易混点)3．最小二乘法的原理．(难点)§8最小二乘估计课前探究学习课堂讲练互动(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：______________________________________________.使得上式达到_______的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为___________．自学导引1．最小二乘法[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2最小值最小二乘法课前探究学习课堂讲练互动(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______图．如果_______呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果_______呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．线性回归方程2．散点图散点散点图如果用x－表示x1＋x2＋…＋xnn，用y－表示y1＋y2＋…＋ynn，则可以求得b＝（x1－x－）（y1－y－）＋（x2－x－）（y2－y－）＋…＋（xn－x－）（yn－y－）（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2.课前探究学习课堂讲练互动a＝______．这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的_____．想一想：回归直线通过样本点的中心，比照平均数与样本数据之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关系吗？系数提示对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心，类似地，对于双变量样本数据，假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，y－＝1n(y1＋y2＋…＋yn)，则(x－，y－)为样本点的中心，回归直线一定过这一点．y－-bx－课前探究学习课堂讲练互动•在处理数据时，常要把实验获得的一系列数据点描成曲线表反映物理量间的关系。为了使曲线能代替数据点的分布规律，则要求所描曲线是平滑的，既要尽可能使各数据点对称且均匀分布在曲线两侧。由于目测有误差，所以，同一组数据点不同的实验者可能描成几条不同的曲线(或直线)，而且似乎都满足上述平滑的条件。那么，究竟哪一条是最曲线呢？这一问题就是“曲线拟合”问题。一般来说，“曲线拟合”的任务有两个：课前探究学习课堂讲练互动•一是物理量y与x间的函数关系已经确定，只有其中的常数未定（及具体形式未定）时，根据数据点拟合出各常数的最佳值。•二是在物理量y与x间函数关系未知时，从函数点拟合出y与x函数关系的经验公式以及求出各个常数的最佳值。课前探究学习课堂讲练互动最小二乘法产生的历史•最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿（F.Gallton）——达尔文的表弟所创。•早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。•他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。课前探究学习课堂讲练互动回归直线方程的应用(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系．(2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的NO的浓度．(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作出散点图，确定合适的拟合模型．名师点睛1．课前探究学习课堂讲练互动回归直线方程求解的方法步骤根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．求线性回归方程的步骤：第1步：列表xi，yi，xiyi；第3步：代入公式计算b，a的值；第4步：写出回归方程y＝a＋bx.利用回归直线对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.第2步：计算x－，y－，2．课前探究学习课堂讲练互动题型一求线性回归的方程某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：根据上述数据，家庭年收入与年饮食支出之间有怎样的关系呢？求出回归直线方程．【例1】年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3课前探究学习课堂讲练互动解以年收入为横坐标，把年饮食，描出如右图所示散点支出y的相应取值作为纵坐标图．由散点图可以看出，各散点在一条直线附近，且年收入越高，年饮食支出越高，说明这两个变量之间具有线性相关关系．对前面列表中的数据进行具体计算，可列出以下表格：[思路探索](1)调整表中数据→作散点图→判断线性相关(2)计算b，a的值→求得线性回归方程课前探究学习课堂讲练互动i12345678910xi24466677810yi0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3xiyi1.85.66.41212.611.412.614.717.623x－＝6，y－＝1.83，从而得到回归直线方程为y＝0.800＋0.172x.课前探究学习课堂讲练互动规律方法用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归直线方程y＝a＋bx.课前探究学习课堂讲练互动某种产品的广告费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)判断x与y是否具有线性相关关系，若具有，求回归直线方程，并说明回归直线方程斜率的意义．【训练1】x24568y3040605070课前探究学习课堂讲练互动解(1)散点图如图所示(2)由散点图知x与y具有线性相关关系．由题中数据可求得x－＝5，y－＝50，课前探究学习课堂讲练互动a＝y－－bx－＝50－6.5×5＝17.5.所求回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.回归直线方程的斜率6.5表示广告费每增加100万元，销售额平均增加650万元．课前探究学习课堂讲练互动一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，收集数据如下：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？【例2】题型二利用线性回归方程对总体进行估计零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(小时)626875818995102108115122课前探究学习课堂讲练互动审题指导解答本题应先画散点图，判断其是否线性相关，再利用最小二乘法求其回归方程．[规范解答](1)散点图如图所示．[解题流程]画散点图→是否线性相关→求线性回归方程→预测课前探究学习课堂讲练互动由散点图知二者呈线性相关关系.4分(2)设线性回归方程为y＝bx＋a.列表并利用科学计算器进行有关计算.i12345678910合计xi102030405060708090100550yi6268758189951021081151229171004009001600250036004900640081001000038500xiyi6201360225032404450570071408640103501220055950x2ix－＝55，y－＝91.7课前探究学习课堂讲练互动题后反思用最小二乘法求出线性回归方程后，根据线性回归方程可以说明其实际意义，并可以用于预测．所以b＝55950－10×55×91.738500－10×552≈0.668，a＝y－－bx－＝91.7－0.668×55＝54.96.故所求线性回归方程为y＝0.668x＋54.96.10分(3)由线性回归方程可以得出每多加工10个零件，就多花费6.68小时.12分课前探究学习课堂讲练互动下表是某地连续七年年平均降雨量(mm)与年平均气温(℃)的相关数据，两者具有线性相关关系吗？若具有，求出其回归方程；若不具有，说明理由.误区警示忽视相关关系的判断而致错【示例】年平均气温x/℃12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年平均降雨量y/mm748542507813574701432[错解]由题中数据，得x－＝13，y－＝43177，课前探究学习课堂讲练互动通过画散点图判断变量间的相关关系．若变量间不存在相关关系，就没有必要求回归方程，用公式求得的回归方程是没有意义的．课前探究学习课堂讲练互动[正解]散点图如图所示．因为散点图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没有必要求回归方程．两个变量之间具有相关关系，但是否具有线性关系，需要用散点图来判断，只有具有线性相关关系的两个变量，才能用回归方程来体现它们的关系．有的同学对两个变量的相关关系不进行判断就盲目地利用回归方程来表示，从而使问题出现了严重错误.