专题29离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)

1专题29离散型随机变量的分布列,期望与方差(解析版)易错点1：二项式展开式的通项公式,n次独立重复试验中事件A发生k次的概率与二项分布的分布列三者易记混；通项公式：1rnrrrnTCab(它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项)；事件A发生k次的概率：()(1)kknknnPkCpp；=,0,1,2,3,01,1kknknpkCpqknppq且；易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差；题组一1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,2.4DX,(4)(6)PXPX,则p=A．0．7B．0．6C．0．4D．0．3【解析】由题意,X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6,又(4)(6)PXPX,即644466101011CppCpp,得1,0.62pp所以2.(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,𝛸表示抽到的二等品件数,则DX=．【解析】由题意,X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96题组二3．(2019全国I理21)为了治疗某种疾病,研制了甲,乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当2其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲,乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药,乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p,81p,11iiiipapbpcp(1,2,,7)i,其中(1)aPX,(0)bPX,(1)cPX．假设0.5,0.8．(i)证明：1{}iipp(0,1,2,,7)i为等比数列；(ii)求4p,并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．【解析】(1)解：X的所有可能取值为﹣1,0,1．()(1)1PXab=-=-,()()(0)11PXabab==+--,()(1)1PXab==-∴X的分布列为：X﹣101P()1ab-()()11abab+--()1ab-(2)(i)证明：∵α＝0.5,β＝0.8,∴由(1)得,a＝0.4,b＝0.5,c＝0.1．因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1(i＝1,2,…,7),故0.1(pi+1﹣pi)＝0.4(pi﹣pi﹣1),即(pi+1﹣pi)＝4(pi﹣pi﹣1),又∵p1﹣p0＝p1≠0,∴{pi+1﹣pi}(i＝0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列；3(ii)解：由(i)可得,()()()()881887761001p1441143ppppppppp--=-+-++-+==-∵p8＝1,∴183=41p-∴P4＝(p4﹣p3)+(p3﹣p2)+(p2﹣p1)+(p1﹣p0)+p0＝4413-p1＝1257．P4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为41p0.0039257=?,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理．4．(2018全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为)10(pp,且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p．(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.因此f′(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p)4令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)0；当p∈(0.1,1)时,f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y～B(180,0.1),X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX400,故应该对余下的产品作检验.5．(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值？【解答】(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知2162000.290PX,363000.490PX,25745000.490PX.因此X的分布列为：5X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500当300500n时,若最高气温不低于25,则642Ynnn；若最高气温位于区间[20,25),则63002(300)412002Ynnn；若最高气温低于20,则62002(200)48002Ynnn因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EYnnnn当200300n时,若最高气温不低于20,则642Ynnn；若最高气温低于20,则62002(200)48002Ynnn因此2(0.40.4)(8002)0.21601.2EYnnn所以300n时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.6．(2016年全国I)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的6概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X的分布列；(II)若要求()0.5PXn≤≥,确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n与20n之中选其一,应选用哪个？【解析】(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；；；；；；.所以的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故的最小值为19.(Ⅲ)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当时,04.02.02.0)16(XP16.04.02.02)17(XP24.04.04.02.02.02)18(XP24.02.04.022.02.02)19(XP2.02.02.04.02.02)20(XP08.02.02.02)21(XP04.02.02.0)22(XPX44.0)18(XP68.0)19(XPnY19n16171819202122XP04.016.024.024.02.008.004.07.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.7．(2013新课标1)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望．【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1.第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取岀的4件产品都是优项品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2).且A1B1与A2B2互斥,所以()()()()()1122111222)(|)(|PAPABPABPAPBAPAPBA=+=[phone]=??(2)X可能的取值为400,500,800,并且08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019EY404004.0)500320019(20n04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020EY408019n20n19n84111(400)1161616PX==--=,1(500)16PX==,41(800)164PX===所以X的分布列为X400500800P11161161411161111400500800506.2516164EX=???8．(2012新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理．(Ⅰ)若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝,Nn)的函数解析式；(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝),整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位：元),求X的分布列,数学