正余弦定理教案

正弦定理和余弦定理安勤辉一.教学目标：1知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要二.教学重、难点：1.重点：正弦、余弦定理应用以及公式的变形2.难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝12absinC＝12acsinB.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)问题1：在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°求c及BC问题2在△ABC中,c=6A=30°B=120°求ab及C问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝916，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()．A.π3B.π4C.π6D.π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC＝______.解析(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝3sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝32.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈0，π2，∴A＝π3.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－82×22＝25，即b＝5.所以sinC＝c·sinBb＝42×225＝45.答案(1)A(2)45【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°解析(1)由正弦定理，得23sin60°＝22sinC，解得：sinC＝22，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sinC＝23sinB，由正弦定理，得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案(1)B(2)A规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．课堂小结1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccosA可以转化为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，利用这些变形可进行等式的化简与证明