高考数学（理）考点一遍过考点50,随机事件概率-之

高考数学（理）考点一遍过考点50,随机事件概率-之（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.一、随机事件及其概率1．事件的分类2．频率与概率（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.二、事件间的关系及运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或A·B)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件且注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.三、概率的基本性质1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.考向一由频率估计随机事件的概率随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.典例1某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)【解析】(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.典例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.学@#B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)P(A2),∴甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B2)P(B1),∴乙应选择L2.1．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1个该产品获利润5元，未售出的产品，每个亏损3元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示.该同学为这个开学季购进了160个该产品，以，单位:个)表示这个开学季内的市场需求量.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;（2）根据直方图估计利润不少于640元的概率.考向二事件间的关系及运算对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．典例3判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.2．从一批产品中取出三件产品，设，，，则下列结论不正确的是A．与互斥且为对立事件B．与为对立事件C．与存在着包含关系D．与不是互斥事件考向三概率加法公式的应用概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．求复杂事件的概率通常有两种方法：（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.典例4某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.学#￥所以这100天的日利润的平均数为.(ii)当天利润不少于92元即12n-102,即n,所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.典例5某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:年降水量(mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率0.100.250.200.12（1）求年降水量在[200,300]内的概率;（2）求年降水量在[100,250)内的概率.3．在一次学业水平测试中，小明成绩在60~80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为A．0.2B．0.3C．0.5D．0.84．近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;（2）试估计生活垃圾投放错误的概率.1．事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件发生的概率的范围是A．B．C．D．2．下列说法正确的是A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7B．一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次“正面朝上”C．某地发行福利彩票，回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．概率等于1的事件不一定为必然事件3．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是A．恰有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1枚正面和恰有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面4．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出2个球.两个球都是红球的概率是,都是黑球的概率是,则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是A．B．C．D．5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡6．设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件7．在一次随机试验中，三个事件的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是①与是互斥事件，也是对立事件；②是必然事件；③；④.A．0B．1C．2D．38．指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称;(2)直线y=kx+6是定义在上的增函数;(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.9．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多有2人排队等候的概率是多少?(2)至少有3人排队等候的概率是多少?10．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.（1）求任取一张，中一等奖的概率；（2）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率.11．减轻雾霾的“雾炮”机的工作原理与建筑工地上常用高压水枪除尘的原理差不多，某公司为测试他们生产的“雾炮”的降尘作用，经过100次测试得到了某“雾炮”降尘率的频数分布表：（1）估计降尘率在以下的概率；（2）若降尘率达到以上，则认定雾炮除尘有效，请根据以上数估计该雾炮的除尘有效的概率.12．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下:品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0302轿车数量(辆)213442345(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率)变式拓展1．【解析】（1）设需求量的中位数为，则根据直方图知，∴，解得.故估计这个开学季内市场需求量的中位数为.（2）设利润不少于640元为事件,当时,利润为；当时,利润为，由,解得.又，∴估计利润不少于640元的概率为0.7.2．【答案】A【解析】因为从一批产品中取出三件产品，有:,,，其中包含，两种情况，因此与互斥但不是对立事件；与为互斥事件，也是对立事件；与存在着包含关系，即与不是互斥事件.故答案为A．3．【答案】A【解析】由题意，小明成绩为优秀的概率为P=.4．【解析】（1）设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m,厨余垃圾总量为n,则m=400,n=400+100+100=600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为==.（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确.因为P()==0.7,所以P(A)=1-P()=1-0.7=0.3.考点冲关1．【答案】D【解析