专题59-圆与圆的位置关系(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题59圆与圆的位置关系专题知识梳理1．如果两圆的半径分别为R，r(Rr)，两圆心之间的距离为d，则两圆相离⇔dR＋r；外切⇔__d＝R＋r；相交⇔__R－rdR＋r__；内切⇔__d＝R－r；内含⇔__dR－r__．2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，将两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．考点探究考向1圆与圆的位置关系【例】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m，得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为2112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.题组训练中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是____．【解析】设(,)Mxy，∵点M满足MA2＋MO2＝10，∴2222(2)10xyxy，解得22(1)4xy，又点M在圆C上，等价于两圆有交点，∴221(3)9aa，解得03a．2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆1C：22481xy，圆2C：22669xy．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆1C和圆2C的圆周，则圆C的方程是．【解析】设圆C的半径是r，圆心坐标为,0Ca，由题意得2222121,9rCCrCC，所以22128CCCC，解得0a，从而得281r，故圆C的方程为2281xy.3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是____．【解析】CO＝42＋（－3）2＝5.若圆C与圆O外切，则rc＋1＝5，所以rc＝4.若圆C与圆O内切，因为点C在圆O外，所以rc－1＝5，所以rc＝6.故圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝____．【解析】方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y＝1a.由已知条件知22－（3）2＝1a，即a＝1.5.求经过两圆(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．【解析】因为所求的圆经过两圆(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交点，所以设所求圆的方程为(x＋3)2＋y2－13＋λ(x2＋(y＋3)2－37)＝0展开、配方、整理，得(x＋31＋λ)2＋(y＋3λ1＋λ)2＝4＋28λ1＋λ＋9（1＋λ2）（1＋λ）2圆心为(－31＋λ，－3λ1＋λ)，代入方程x－y－4＝0，得λ＝－7，故所求圆的方程为(x＋12)2＋(y＋72)2＝892.6.已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2的坐标为(2，1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】(1)设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.∵两圆外切，∴O1O2＝r1＋r2，∴r2＝O1O2－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2，将两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－22＝0.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22.∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.作O1H⊥AB于点H，则AH＝12AB＝2，O1H＝2，由圆心O1(0，－1)到直线AB的距离|r22－12|42＝2，得r22＝4或20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.考向2圆的综合应用【例】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围．【解析】圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4－02－0＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m|5＝|m＋5|5.因为BC＝OA＝22＋42＝25，而MC2＝d2＋BC22，所以25＝（m＋5）22＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．∵A(2，4)，T(t，0)，TA→＋TP→＝TQ→，∴x2＝x1＋2－t，y2＝y1＋4.①∵点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，∴5－5≤[t＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4及点A(－1，0)，B(1，2)．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【解析】(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l的斜率为2－01－（－1）＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN＝AB＝22＋22＝22，而CM2＝d2＋(MN2)2，所以4＝（2＋m）22＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|（2－0）2＋（0－1）22＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.2.在平面直角坐标系xOy中，圆M：22(1)(4)1(0)xayaa，点N为圆M由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，求a的最小值.【解析】∵圆M：22(1)(4)1(0)xayaa的圆心为(1,4)aa，点N为圆M由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，∴2ON，又∵ON的最小值为1OM，∴3OM，即22(1)(4)3aa，即2540aa，解得4a或01a.3.（2018苏北四市一模）在平面直角坐标系xOy中，若圆1C：222(1)(0)xyrr上存在点P，且点P关于直线0xy的对称点Q在圆2C：22(2)(1)1xy上，则r的取值范围是．【解析】设圆1C：222(1)(0)xyrr上一点(,)Pab，关于直线0xy的对称点为(,)Qba．则得22222(1),(2)(1)1,abrba解得2223rab，又∵22(2)(1)1ba，∴动直线22230abr与22(2)(1)1ba有交点，即得2243144r，解得2322322r，即2121r．4.已知圆22:2440Cxyxy，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.【解析】假设存在直线l：yxb满足题意，并设1122(,),(,)AxyBxy，将直线方程代入圆C中，22()24()40xxbxxb，化简得222(22)440xbxbb，∵以弦AB为直径的圆过原点，∴OAOB，即12120xxyy，又∵212442bbxx，121xxb，∴2212121224()2bbyyxxbxxb，∴2221212442434022bbbbxxyybb，解得1b或4b.∴满足条件的直线方程为1yx或4yx.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师