概率论与数理统计常见问题解答

概率论与数理统计常见问题解答1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。必然现象：一定条件下，结果是肯定的。如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中概率论是研究随机现象规律性的一门学科。2.随机现象有规律性吗？有。例如：两人打枪。甲是神枪手，乙是普通射手。如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：12345678910甲979598921009692949196乙50524756455444434847我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。这种规律性称为统计规律性。在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。3.随机现象的规律性如何指导实践？例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。这时，应当拒绝“废品率为5%”。为什么？因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。可能性小的事并不等于不发生例如：地震。某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。请根据下面两种数据，计算中国队获胜的概率。第一种瑞典瓦佩卡瓦佩中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.550.450.400.550.45第二种瑞典瓦卡佩瓦卡中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.550.40.50.550.404.什么是随机事件？随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。应该注意的是，事件的结果是相应于一定条件而言的。因此，要弄清某一随机事件，就必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。例如，某人作试验向上抛掷一枚质地均匀的硬币,质地均匀的硬币是条件，在此条件下，硬币落地时正面向上(或反面向上)则是结果；例如，某气象台每天中午观察风速，则时间、地点是条件，观察到的风速是结果。5.如何理解随机试验这一概念？凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。一个试验如果满足下述条件，则被称之为随机试验：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。例如，从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球就是一次随机试验，取出的是排球则是试验的结果。6.频率与概率之间有何关系？随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小。为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率。它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率。例如，一根棒在一定条件下具有长度这一特性，而我们通常用某次测量的结果作为其长度。7.如何理解“互斥问题”互斥事件是对两个事件而言的。若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发生时事件A就不发生(也就是说，事件A、B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。8.互斥与等可能的区别是什么？互斥事件和等可能事件是迥然不同的两个概念。在一次试验中，由于某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件。在数目上它可为2个或多个。而互斥事件仅指不可能同时发生的两个事件。例如：掷一个均匀骰子，出现1或2与出现2或3这两个事件是等可能的，但它们不是互斥事件。9.互斥和对立的关系如何？互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的。互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,互斥是对立的必要但不充分的条件。例如：出现1点和出现2点是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。又如：掷一个硬币，出现正面和出现反面是对立的。应用公式P(A+B)=P(A)+P(B)解决问题时，首先要注意前提：A、B两事件必须互斥。因为一般地，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)10.如何灵活运用公式？求某个事件的概率时，常遇到求“至少...”或“至多...”等事件概率的问题。若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。但“至少...”、“至多...”这些事件的对立事件往往比较简单，且其概率也很容易求出。此时，不妨来一个逆向思考，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。这就需要运用公式了。11.如何理解“独立事件”？在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。例如：“昨天晚上没休息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。虽然没休息好不一定导致成绩不好，但增大了成绩不好的可能性。又如：“某人买彩票没中奖”和“某人听见乌鸦叫”这两个事件，可以认为是互不相关的，因为某人是否听见乌鸦叫，并不影响他中奖的可能性。“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，但我们还要注意两者之间的差别。前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。例如：“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，一般均看作独立的。又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互相独立的，但如果骰子不是均匀的，那么这两个事件就不一定互相独立的。所以，判定两个事件是否相互独立，一定要按定义，即根据条件是否成立来决定。有一个例子，说明A、B、C三个事件中任意两个事件互相独立，但它们总体并不相互独立。例：同时抛掷两个均匀的硬币A={第一个硬币出现正面}B={第二个硬币出现反面}C={两个硬币同时出现正面，或同时出现反面}，则，，但，可见A、B、C两两互相独立，但三个事件总体并不互相独立。这个例子正确说明，我们对“两个事件互不影响”的直观概念和“全体相互独立事件”的数学概念是有一定差别的。12.“互斥”与“相互独立”的有什么区别？“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。若A、B互斥，且，，则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是互相独立。教你一招应用公式解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提：这n个事件是相互独立的.13.如何认识独立重复试验？进行一系列试验，在每次试验中事件A或者发生、或者不发生。假设每次试验的结果与其它各次试验的结果无关，即事件A的概率P(A)在整个系列试验中保持不变，这样的一系列试验叫独立重复试验。重复是指在多次试验中，每次P(A)=p保持不变.独立是指每次试验的结果互不影响，若以Ci记为第i次试验的结果A或（i=1,2,...,n）,则独立指14.如何正确看待小概率事件？小概率事件是指发生的概率很小（比如小于1%，当然，对不同的实际问题有不同的要求）的事件。对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均要做很多次才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。不过应注意两点：一是这里的几乎不可能发生，是针对一次试验来说的，因为如果一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要实验次数很多，而且试验是独立进行的，则这一事件的发生几乎是肯定的；二是当我们运用小概率事件几乎不可能发生的原理进行推断时，也有犯错误的可能。15.摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：ABCDE结果（比数）8:07:16:25:34:4奖金（元）1010.50.2-2注：表中“-2”表示受罚2元此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果,有4种可得奖,且最高奖达10元,而只有一种情况受罚,罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加,结果却是受罚的多，何以如此呢？其实,这就是概率知识的具体应用：现在是从16个球中任取8个,所有可能的取法为种,即基本事件总数有限,又因为是任意抽取,保证了等可能性,是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式,很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是：假设进行了1000次摸球试验，5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487-2×381=593.6（元）．这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识．16.如何理解随机变量？研究随机现象时，我们通常只关心结果的某些数量方面。例如，掷一个骰子，我们只关心向上一面的点数，而不关心骰子落在哪里。在随机试验中，如果一个变量随着试验结果的不同而取不同的值，它就是随机变量，也可以说，随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。17.随机变量与普通函数有什么区别？随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也确定下来。因此，如不与某次试验联系，就不能确定随机变量的值。所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)和实数之间的一个对应关系，不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。随机变量的取值随试验结果而定。18.离散与连续随机变量有什么区别离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的，但二者之间又有着重要的区别：对于离散型随机变量而言，它所可能取的值为有限个或至多可列个；而连续型随机变量的取值则不然。19.如何理解随机变量的函数？一般地，若ξ是随机变量，f(x)是x的函数，则f(ξ)也是随机变量。也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。20.如何理解“二项分布”？二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位。二项分布实际上是对n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的阐述，或者说，当随机变量ξ是n次独立重复试验中某事件恰好发生的次数时，其概率分布称作二项分布。这里之所以把这种分布称作二项分布，是因为恰是二项展开式中的第k+1项的值。21.二项分布的数学期望有什么特点？设在一次试验中某事件发生的概率是p，η是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p则P(η=0)=q，P(η=1)=p,从而Eη=0×q+1×p=p由此可知，在一次试验中该事件平均发生p次。我们有理由猜想，在n次独立重复试验中，该事件平均发生np次，即若ξ～B(n,p)，则Eξ=np，这