函数的奇偶性与周期性

Gothedistance学案6函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋T2)＝f(x－T2)．②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A．1B．2C．3D．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－1x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)的值为()GothedistanceA．－2B．－1C．1D．25．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝x(12x－1＋12)；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.变式迁移1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．变式迁移2(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．Gothedistance(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分](2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分](3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.∴0|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]解上式，得3x≤5或－73≤x－13或－13x3.∴x的取值范围为{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|0，从而得出0|g(x)|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a(满分：75分)Gothedistance一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()A．－13B.13C.12D．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则fxx0的解集为()A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于()A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.54．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()A．3B．1C．－1D．－35．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是()A．f(－1)f(2)B．f(－1)f(2)C．f(－1)＝f(2)D．无法确定题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＝x－1，x0，a，x＝0，x＋b，x0是奇函数，则a＋b＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)1，f(2)＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)Gothedistance(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．(1)00(2)y原点(3)相反3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a自我检测1．B[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C[f(－2012)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]5．－1解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1.代入检验f(x)＝xx12是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解(1)定义域要求xx11≥0且x≠－1，∴－1x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x)21121(x＝－x)21212(xx＝)21122(xxx＝)21121(xx＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.Gothedistance∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝