高等数学教案

《高等数学》精品课教案课题：§1.1函数及其性质教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义教学重点：初等函数的概念、图形及性质教学难点：分段函数的概念课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量x之间存在这样的依赖关系：L=px又例如：圆的面积S和半径r之间存在这样的依赖关系：2rS不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。二、讲授新课（一）函数的定义定义设有两个变量x，y。对任意的x∈D，存在一定规律f，使得y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x)，x∈D。其中x叫自变量，y叫因变量。定义10（集合的观点）A，B为两个数集，对任意的x∈D，存在f，在B中有唯一确定的值与之对应。记作：f：A→B函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。例1f(x)=2x2+3x-1就是一个特定的函数，f确定的对应法则为：f()=2()2+3()-1例10：设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2∴f(x)=2x2–x–2其对应法则：f()=2()2-()-2定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0②偶次根式被开方数大于或等于0③对数的真数大于0④y=x0(x≠0)⑤y=tanx(x≠Zkk,2)等.例2求函数y=6—2x－x+arcsin712x－的定义域.解：要使函数有定义，即有：1|712|062xxx4323xxx或4323xx或2于是，所求函数的定义域是：[-3，-2][3，4].小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。例3判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx(2)ω=u与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.函数的表示法：（1）解析法（或分析法、公式法）。如：xysin、12xy，这样的表达式亦为函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；（2）图示法：如用直角坐标（或极坐标等）平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；（3）表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。分段函数若函数)(xf在定义域不同的区间上用不同解析式来表示，则称函数)(xf为分段函数.如)(xf,1,0,1xx0,0,0xxx（二）函数的几种特性要研究函数，首先函数必须要有意义，假设f(x)在区间D上有定义。1、有界性若存在两个数A和B，对一切成立有BxfADxf)(,，则称为)(xf有界函数．例如：xysin，xycos在全数轴上均有界，而xx1)(在（0，1）内无界.思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？y=sinxy=cosxy=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx2、单调性对，若对任意两点时有，则称函数在D上单调增加，区间D称为单调增区间；反之，函数在D上单减少，区间D称为单调减区间．单调增区间或单调减区间统称为单调区间例如xyayaxlog,在其定义域区间内均为单调函数。3、奇偶性对，若成立，)()(xfxf则称)(xf为奇函数；若3)()(xfxf成立，则称)(xf为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于y轴对称．例如：函数xxycos2是偶函数。例如：函数3xy是奇函数。例如：函数12xy既不是奇函数也不是偶函数。4、周期性对，若存在常数，对任何x，满足则称为周期函数，的一个周期．例如，函数xysin，xycos的周期均为2，xytan的周期为。而cy（是一个常数）是以任何正数为周期的周期函数，但它不存在基本周期，所以说，并不是所的周期函数都存在基本周期（最小周期）。（三）反函数定义函数y=f(x)，若把y当作自变量，x当作函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=φ(y)称为函数y=f(x)的反函数,记作y=f-1(x).注：求函数的反函数的一般方法是将关系式)(xfy经过一系列的变换，变成)(yx的形式，最后再表示成)(xy的形式。三、课堂练习4P思考题5P1、3四、小结理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义；掌握基本初等函数的图形和性质.五、布置作业9P习题一1、2、4、5、7、8.选做：3、6课题：§1.2函数及其性质教学目的：1.掌握基本初等函数的图形和性质2.理解复合函数的概念3.掌握复合函数的构成过程教学重点：复合函数的构成教学难点：复合函数的分解及反三角函数的图象课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课前面一节课讲了函数的定义，函数的性质、两要素和反函数，说到反函数有必要再讲讲4反函数的图象，特别是反三角函数的图象。1、什么样的函数才有反函数，为什么？答：一一对应的函数才有反函数，因为从函数的定义知，函数y=f(x),对任意的x有唯一的y与之对应。反函数是自变量和因变量互换，所以对任意的y也应有唯一确定的x与之对应，函数x=(y)才有意义。所以只有一一对应的函数才有反函数。2、问题出现：对正弦函数和余弦函数，不是一一对应的函数，为什么会有反函数？答：取一个周期，取[—2，2]，原函数y=sinx，x[—2，2]，y[—1，1]反函数y=arcsinx，x[—1，1]，y[—2，2]二、讲授新课（一）基本初等函数常数函数：y=c(c为常数)幂函数：y=x（为常数）指数函数：y=xa(a0，a1，a为常数)对数函数：y=xalog(a0，a1，a为常数)三角函数：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx反三角函数：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx（二）复合函数定义设),(ufy其)(xu中，且)(x的值全部或部分落在)(uf的定义域内，则称)]([xfy为x的复合函数，而u称为中间变量.简单说：几个基本初等函数的组合例1：若y=u，u=sinx，则其复合而成的函数为y=xsin，要求u必须0，sinx0，x[2k，+2k]例2：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx（2）y=1sin2xe解：（1）y=u，u=cosv，v=2x（2）y=ue，u=sinv，v=t，t=x2+1例3：设f(x)=2xg(x)=x2求f[g(x)]g[f(x)]5解：f[g(x)]=f(x2)=(x2)2=4xg[f(x)]=g(2x)=22x注：此题用“整体代换”的思想.（三）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。例：双曲正弦函数shx=2xxee双曲余弦函数chx=2xxee双曲正切函数thx=chxshx注：分段函数一般不是初等函数三、课堂练习6P习作题1、210P9、10、11、17、25、26四、小结掌握基本初等函数的图形和性质，理解复合函数的概念，掌握复合函数的构成过程.五、布置作业10P习题一12、13、14、15、18、19、选做：24、29课题：§2.1极限的概念教学目的：1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.熟练掌握x和0xx时f(x)的极限存在的充要条件3.理解无穷大、无穷小的概念，4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限教学重点：函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.教学难点：1.函数极限的定义及)0(0xf、)0(0xf的含义2.分段函数在0xx时的极限的讨论方法3.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课61.写出下列函数的复合过程（1）5223xxy（2）xy2sin思考：若111xy，当x无限的靠近1时，y值怎样变化？二、讲授新课（一）函数的极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x0，或+或—），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。规定：01x从x0的左右两侧无限接近于x0,记xx002x从x0的左两侧无限接近于x0,记xx003x从x0的右两侧无限接近于x0,记xx004x无限增大时，用记号x+05x无限减小时，用记号x—06x无限增大时，用记号x（2）点x的邻域N(x，)=(x—，x+)，其中很小的正数，X的去心邻域N(xˆ，)=),(),(0000xxxx.1、xx0时函数的极限举例说明：x1时，函数无限接近于多少？观察：当：x1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x1时，g(x)=112xx，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义1如果当xx0时,函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A,则称A为函数)(xf当xx0时的极限,记作0limxxf(x)=A或Axf)((当xx0时).此时也称)(lim0xfxx存在。如果当xx0时,函数)(xf不趋近于任何一个确定的常数,则称)(lim0xfxx不存在。7如：2)1(lim1xx，又如1limx112xx=2注意：f(x)=112xx在处无定义,但当时,函数f(x)=112xx无限趋近于一个确定的常数2,所以1limx112xx=2。结论：函数)(xf当xx0时的极限是否存在，与)(xf在点0x处是否有定义无关.如上举例f(x)=112xx在处无定义,但1limx112xx=2.定义2右极限当xx0，有Axfxx)(lim0定义3左极限当xx0，有Axfxx)(lim0函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。定理1[极限存在的充分必要条件]函数)(xf当0xx时的极限存在的充分必要条件是，)(xf当0xx时的左右极限都存在并且相等.即Axfxx)(lim0)(lim0xfxxAxfxx)(lim0注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴2,2,1xxxxy（当2x时）⑵0,310,sinxxxxy（当0x时）解：⑴∵3lim,2lim22yyxx，yyxx22limlim∴函数在指定点的极限不存在。⑵∵0031lim,00sinlim00yyxx，yyxx00limlim∴函数在指定点的极限yx0lim=0定理2xlimf(x)=Axlimf(x)=xlimf(x)=A（二）数列的极限定义4对于数列{nu}，如果当n无限增大时，通项nu无限接近于某个确定的常数A，8则称A为数列nu的极限，或称数列{nu}收敛于A，记为xlimnu=A或nuA（n）定理3[单调数列极限存在定理]单调增加(上升)数列：