凸函数判定方法的研究要点

凸函数判定方法的研究i凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩2013年12月15日凸函数判定方法的研究ii目录摘要……………………………………………………………………………ii关键词…………………………………………………………………………iiAbstract……………………………………………………………………iiKeywords……………………………………………………………………ii前言…………………………………………………………………………iii一、凸函数的基本理论………………………………………………………11、预备知识…………………………………………………………………12、凸函数的概念及性质……………………………………………………2二、凸函数的判定方法………………………………………………………4（一）一元函数凸性的判定方法……………………………………………41、利用作图判断函数凸性……………………………………………42、其它判定方法……………………………………………………5（二）多元函数凸性的判定方法……………………………………………81、多元凸函数的有关概念……………………………………………82、多元函数凸性的判定方法…………………………………………9三、凸函数几个其他判定方法……………………………………………12四、总结………………………………………………………………………14参考文献………………………………………………………………………14致谢……………………………………………………………………………15凸函数判定方法的研究iii凸函数判定方法的研究摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。关键词：凸函数；梯度；Hesse矩阵；泰勒定理Abstract:Convexfunctionisakindofveryimportantfunctions,withthehelpofitsconvexitywecanaccuratelydescribethegraphoffunctionsanditcanalsobeusedtoprovetheinequalities.Asthesignificantobjectinoptimizationproblems,thecontentsaboutconvexfunctionswestudyareveryabundant,theresultsobtainedsofarhasbeenappliedtomanyfields.Therefore,thetopicweconcernaboutisdeservedtobediscussed.Inthispaper,wefirstlypresentsomebasicdefinitionsandpropertiesofconvexfunctions,thenaimingattheunivariatefunctionandmulti-variablefunctionswegiveseveralcriterionsfordeterminingtheconvexityoffunctions.Finally,somenewprinciplesarealsogiven.Keywords：Convexfunction;Gradient;Hessematrix;TaylorTheorem凸函数判定方法的研究iv前言提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确,凸函数是一个十分重要的数学概念,它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中,函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置,关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。但是,凸分析的局限性也是很明显的,实际问题中的大量函数是非凸的,因此,各种广义凸函数的定义相继出现,特别是近年来,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题,它们是凸分析的拓广和发展。本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。凸函数判定方法的研究1一、凸函数的基本理论（一）预备知识1.梯度：若n元函数()fx对自变量12(,,,)Tnxxxx…的各分量ix的偏导数()ifxx(1,2,)in…都存在，则称函数()fx在x处一阶可导，并称向量12()()()()(,)Tnfxfxfxfxxxx,...,为函数()fx在x处的梯度或一阶导数。2.Hesse矩阵：若n元函数()fx具有二阶偏导数，即2()(,1,2,)ijfxijnxx…,都存在，则称矩阵2221112122222122222212()()()()()()()()()()nnnnnnfxfxfxxxxxxxfxfxfxfxxxxxxxfxfxfxxxxxxx┅┅┇┇┇┅为()fx在x处的Hesse矩阵（海色矩阵）。3.泰勒展式（1）一阶泰勒展式：设()fx在点_x处具有一阶连续偏导，则()fx在点_x处的泰勒展开式____()()()()()fxfxfxxxxx其中_()xx为变量_xx的高阶无穷小量_()xx，或者__()()()()Tfxfxfxx，其中__()(01)xxx。（2）二阶泰勒展式：设()fx在点_x处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数），凸函数判定方法的研究2则()fx在点_x处的二阶泰勒展开式为2_______21()()()()()()()()2TTfxfxfxxxxxfxxxxx或者_____21()()()()()()()2TTfxfxfxxxxxfxx，其中__()(01)xxx。（二）凸函数的概念及性质定义1.1设函数()fx在区间I上有定义,若12,xxI,总有121211()22fxxfxfx（1.1）则称()fx为I上的凸函数.若在定义1.1中当12xx且不等式严格成立,则称()fx为I上的严格凸函数.定义1.2设()fx为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点12,xx和任意的0,1总有1222(1)()1()fxxfxfx（1.2）则称()fx为I上的凸函数.若（1.2）改为严格不等式，则称()fx为严恪凸函数定义1.3设函数()fx在区间I上有定义,若12,,2nxxxIn…，，总有1212+nnfxfxfxxxxfnn……(1.3)则称()fx为I上的凸函数.1．凸函数的一些基本性质（1）若xf1、xf2均为ba,上的凸函数，则xfxf21也是ba,上的凸函数。（2）设xf为ba,上的凸函数，k为正常数，则xkf也为ba,上的凸凸函数判定方法的研究3函数。（3）设xfu为ba,上的凸函数，ug在ba,上单调递增，且也为ba,上的凸函数，则复合函数xfg也是ba,上的凸函数。（4）若xfu是奇函数，且当0x时，xfu是凸函数，则当0x时，xfu是凹函数。（5）若xfu是偶函数，且当0x时，xfu是凸函数，则当0x时，xfu是凸函数。（6）若xfy是ba,上的连续递增的凸函数，则yfx1是递增的凹函数。（7）若xfy是定义在区间ba,上的凸函数，则xfy在ba,上连续。（8）若xfy是,上的凸函数且不恒为常数，则存在一点c使得xfy在c,上递减，在,c上递增。2．凸函数的一些重要性质性质1.1设函数fx在I上连续,若fx是I上Jensen意义下的凸函数,则12,xxI及0,1都有(1.2)成立。性质1.2(性质1的逆命题)设fx是定义在区间I上的,若对12,xxI,0,1都有1222(1)()1()fxxfxfx，则fx在I内连续。性质1.3若fx在区间I上连续,且满足21122121xxxxfxfxfxxxxx其中12,xxI,则fx是I上的凸函数。性质1.4若fx是闭区间[a,b]上有界的凸函数,fx在[a,b]内必连续。凸函数判定方法的研究4性质1.5若函数fx是区间I上的连续凸函数,则有1)函数fx在I内处处存在左、右导数'fx与'fx,且''fxfx；2)'fx与'fx都是x的不减函数.二、凸函数的判定方法（一）一元函数凸性的判定方法1.利用作图判断函数凸性x3x2x1BCAO图1-1上图是一个凸函数fx的几何图像，其中12(1)xxx，1()Afx，2()Afx，(1)CAB。若函数()yfx在区间I内有定义，如果对于12,xxI，连接11(,())xfx和22(,())xfx两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则可以判定（由定义1.1）该函数在区间I内是凸函数。定义1.1是对凸函数的几何特性的直观描述，可以通过作图判断函数的凸性。2.其它判定方法引理2.1f为I上的凸函数的的充要条件是：对I上的任意三点123xxx，总有凸函数判定方法的研究521322132fxfxfxfxxxxx（2.1）定理2.1设函数fx在区间I可导,fx在区间I内是凸函数12,xxI,且12xx,有12fxfx。证明：必要性若fx在区间I上式凸函数，且12,xxI且12:xxxx，由（2.1）式有1212fxfxfxfxxxxx已知函数fx在1x与2x皆连续可导，根据极限保号性定理有12'112()fxfxfxxx21'221()fxfxfxxx于是1221''121221()()fxfxfxfxfxfxxxxx充分性：123,,xxxI，且12xxx，根据微分中值定理，121122,:xxx有1'11()fxfxfxx与2'22()fxfxfxx。已知''12()()ff即