圆的方程测试卷

典型例题一例1圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043myx，则1431122md，∴511m，即6m，或16m，也即06431yxl：，或016432yxl：．设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．∴圆1O到01143yx距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？典型例题四例4圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：把034222yxyx化为82122yx，圆心为21，，半径为22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C．典型例题五例5过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l的方程为34xky即043kykx根据rd有214322kkkPEOyx整理得0432kk解得340k．典型例题六例6已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．解：∵点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky根据rd∴21422kk解得43k所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解．典型例题七例7自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆074422yxyxC：相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A到切点所经过的路程．分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为33，，其次设过A的圆C的切线方程为33xky根据rd，即求出圆C的切线的斜率为34k或43k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334yx或0343yx最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为0334yx或0343yx光路的距离为MA'，可由勾股定理求得7222CMCAMA．说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解．典型例题八例8如图所示，已知圆422yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx,的关系非常难．由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系．GOBNMyAx图3CA’解：设),(yxH，),(''yxC，连结AH，CH，则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC，所以AHOC//，OACH//，OCOA，所以四边形AOCH是菱形．所以2OACH，得.,2''xxyy又),(''yxC满足42'2'yx，所以)0(4)2(22xyx即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．典型例题九例9求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．典型例题十例10已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决．解法一：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx．一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx．①另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx②的两个根．∴221xx，527421mxx．③又P、Q在直线032yx上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121xxxxxxyy．将③代入，得51221myy．④将③、④代入①，解得3m，代入方程②，检验0成立，∴3m．解法二：由直线方程可得yx23，代入圆的方程0622myxyx，有0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx，整理，得0)274()3(4)12(22ymxymxm．由于0x，故可得012)3(4))(274(2mxymxym．∴OPk，OQk是上述方程两根．故1OQOPkk．得127412mm，解得3m．经检验可知3m为所求．说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在．解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．典型例题十一例11求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．典型例题十二例12设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出