双曲线的简单几何性质

学科：数学教学内容：双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22ax-22by＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±abx，或令双曲线标准方程22ax-22by＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e＝ac＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.(7)共轭双曲线：方程22ax-22by＝1与22ax-22by＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22ax-22by＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22ax-22by＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22ax+22by＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为22ax-22by＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝ca2的距离之比等于常数e＝ac(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝cb2，与椭圆相同.3.焦半径(22ax-22by＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线22ax-22by＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0+a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜-(ex1+a),｜PF2｜＝-(ex1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1(1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y＝±43x，求双曲线方程.分析(1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x-92y＝λ(λ≠0)，将Q点坐标代入求得λ＝4故所求双曲线方程为162x-362y＝1.(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为22ax-22by＝1,依题意有,,43,56422222bacabca解得.366422ba故所求双曲线方程为642x-362y＝1当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为：22)332(x-22)9128(y＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x-362y＝1或22)332(x-22)9128(y＝1.例2过双曲线92x-162y＝1的右焦点F2，作斜率为2的弦AB，求｜AB｜的长.分析运用焦半径知识较为简便.依题意有a＝3,c＝5,e＝35,F2(5,0)联立方程组1169)5(222yxxy消去y得5x2-90x+261＝0.设方程的两根为x1,x2.于是｜AB｜＝e(x1+x2)-2a＝35×590-6＝24.注：若用弦长｜AB｜＝221·212214)(xxxx解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3已知直线l和双曲线22ax-22by=1(a＞0,b＞0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：｜AB｜=｜CD｜.分析若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=22222kabkma再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0并整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3+x4=22222kabkma∴x1+x2=x3+x4表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1求与双曲线162x-92y＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x-92y＝1的渐近线方程为：y＝±43x将x＝2代入方程y＝43x得y＝43·2＝233∴点(2，3)在直线y＝43x的上方，于是设所求的双曲线方程为：22ay-22bx＝1∴123432222baba)2()1(由(1)设a＝3k,b＝4k，代入(2)得：299k-2164k＝1∴k＝±23(舍负)∴a＝323b＝23∴所求方程为：4272y-122x＝1即2742y-122x＝1分析二与双曲线162x-92y＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x-92y＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x-92y＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ∴λ＝-43所求方程为：162x-92y＝-43即：2742y-122x＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a、b，进而求出双曲线方程.(2)方程22x-22y＝λ当λ＝0时，表示两条直线：x+y＝0和x-y＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22x-22y＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2在双曲线122y-132x＝1的一支上不同的三点A(x1,y1)、B(26,6)、C(x2,y2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y1+y2;(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.分析(1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.(2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a＝23,b＝13,c＝5,∴e＝ac＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF｜＝e(y1-ca2)＝ey1-a＝635y1-23,｜CF｜＝e(y2-ca2)＝ey2-a＝635y2-23,｜BF｜＝e(6-ca2)＝6e-a＝6×635-23=33.又｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列，∴｜AF｜+｜CF｜＝2｜BF｜，即(635y1-23)+(635y2-23)＝2×33,∴y1+y2＝12.(2)证明：设x1+x2＝t，则线段AC的中点为(2t,6).∵1221y-1321x＝1,1222y-1322x＝1.∴12))((2121yyyy-13))((2121xxxx＝0,∴2121xxyy＝131(x1+x2)＝13t.∴线段AC的垂直平分线的斜率k＝-t13，从而其方程为y-6＝-t13(x-2t)，即(y-225)t+3x＝0，显然它过定点(0，225).点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22ax-22by＝1上一点P(x1,y1)的左、右焦半径长为｜PF1｜＝±(ex1+a),｜PF2｜＝±(ex1-a)(其中P在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1已知双曲线22ax-22by=1(a＞0,b＞0)左、右焦点分别为F1和F2，P是它左支上点，P到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P，使d,｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，说明理由.分析对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x0,y0)且x0≤-a，使d，｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，则｜PF1｜2=d｜PF2｜，设d′为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF1='2dPF=e∴｜PF1｜=ed,∴(ed)2=d·ed′，∴ed=d′，∴e(-ca2-x0)=-x0+ca2,∴x0=eea1)11(∵x0≤-a,∴eea1)11(≤-a,∴e2-2e-1≤0，∴1-2≤e≤2+1,又e＞1，∴1＜e≤2+1.故当双曲线的离心率e∈(1,2+1)时，存在满足条件的P，而当e∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF1｜+｜PF2｜≥｜F1F2｜求解，请同学们自己完成.例2如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜=2｜CD｜，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e的取值范围.分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C(2c,h),E(x0,y0,)其中c=21｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由定比分点坐标公式得x0=12cc=)1(2)2(c，y0=1h42e-22bh=1,①42e(12)2-(1)222bh=1②由①式得22bh=42e-1③把③式代入②式，整理得42e(4-4λ)=1+2λ故λ=1-232e由题设32≤λ≤43得32≤1-232e≤43.解得7≤e≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与λ的等式，由λ范围求出e的范围.例3已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B，且点P(1，m)恰是线段AB的中点?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.分析(1)设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知｜｜SM｜-｜SN｜｜=｜｜TM｜-｜TN｜｜≠0∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM｜=13,｜TM｜=15.1°当｜SM｜-｜SN｜=｜TM｜-｜TN｜时，有｜TN｜-｜SN｜=2＜14=｜ST｜，∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的双曲线C的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C的方程：x2-482y=1(x＜0).∴点N的轨迹方程为x2-482y=1(x＜0,y≠±12).2°当｜SM｜-｜SN｜=-(｜TM｜-｜TN｜)时，有｜TN｜+｜SN｜=28＞14=｜ST｜，∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的椭圆Q，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q方程：1962x+1472y=1.∴点N的轨迹方程为1962x+1472y=1(y≠±12).综合1°、2°，点N的轨迹方程为x2-482y=1(x＜0＝和1962x+1472y=1，其中y≠±12.(2)1°当