数学奥林匹克高中训练题(11)

数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)若,xyR，则实数集2{|31}Pssxx与2{|31}Qttyy具有的关系是(D)．(A)PQ(B)PQ(C)QP(D)PQ2．(训练题11)方程12112loglogyxx的图象是(C)．3．(训练题11)在ABC中，cos2cos2BA是AB的(C)．(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件4．(训练题11)圆台两底面半径分别为R和r()Rr，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分．那么，截面圆半径是(B)．(A)Rr(B)222rR(C)2rR(D)无法确定5．(训练题11)等差数列{}na中，2n，公差0d，前n项和是nS．则有(C)．(A)1nSna(B)nnSna(C)1nnnaSna(D)1nnnaSna6．(训练题11)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点。那么，线段PQ中点的轨迹方程是(B)．(A)221yx(B)222yx(C)221yx(D)222yx二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)已知函数,01,()1,10.xxfxxx则它的反函数是11,(0,1](),[1,0]xxfxxx．xyO．．1-1xyO．．1-1xyO．．1-1xyO．．1-1-1．(A)(B)(C)(D)。。。。2．(训练题11)已知复数z的模1z且，111zz，则z1(13)2i．3．(训练题11)某市电话号码从六位升至七位，这一改可增加761010个拨号．4．(训练题11)1arctanarctan1xxx的值是3144或．5．(训练题11)平面内有圆ABC(如图)AB是直径，SA，C是AB上一点．若::1:2:2ACABSA，则二面角CSBA的平面角的余弦值是155．6．(训练题11)ABC顶点在以x轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知(6,8)A，且ABC的重心在原点，则过B，C两点的直线方程为480xy．三、(训练题11)(本题满分20分)如图，四棱锥SABCD的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点O，已知棱锥SABCD的高恒为3，22,(,,)SADOSBCOVmVnmnRmn．问当四棱锥SABCD取得最小体积时，底面ABCD是怎样的四边形？四、(训练题11)(本题满分20分)抛物线22(0)ypxp的焦点是F．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过F点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由五、(训练题11)(本题满分20分)数列{}na的首项0a，该数列是公比为a的等比数列．记lgnnnbaa，1nniiSb．(1)证明:当1a时，对一切nN，都有12lg[1(1)(1)](1)nnnaaSnnaaa．(2)当01a时，是否存在自燃数m，使得对任何自然数n，都有nmbb．第二试一、(训练题11)(本题满分35分)H为ABC的垂心，,,DEF分别是,,BCCAAB中点，一个以H为ASFEBCSCBAOD圆心的H交直线,,EFFDDE于121212,,,,,AABBCC．求证：121212AAAABBBBCCCC．二、(训练题11)(本题满分35分)若n是素数，证明存在0,1,2,,1n的一个排列12(,,,)naaa，使得11212312,,,,naaaaaaaaa被n除的余数各不相同．三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．已知这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，则无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？