数形结合思想方法

八、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。Ⅰ、再现性题组：1.设命题甲：0x5；命题乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。（90年全国文）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若loga2logb20，则_____。(92年全国理)A.0ab1B.0ba1C.ab1D.ba13.如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212B.－212C.－1D.1224.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|yx32＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么MN∪等于_____。(90年全国)A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y＝x＋16.如果θ是第二象限的角，且满足cosθ2－sinθ2＝1sinθ,那么θ2是_____。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角7.已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的区间是_____。A.(π2,π)B.(π4,34π)C.(π,32π)D.(34π,54π)（93年全国文理）8.若复数z的辐角为56π，实部为－23，则z＝_____。A.－23－2ｉB.－23＋2ｉC.－23＋23ｉD.－23－23ｉ9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。(90年全国理)A.12B.33C.32D.310.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组：例1.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【解】原方程变形为30332xxxmx即：30212xxm()设曲线y1＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0y4y=1-m1O23x【注】方程解、不等式解集、函数性质等的讨论，借助于图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。例2.设|z1|＝5，|z2|＝2,|z1－z2|＝13，求zz12的值。【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示。由图可知，|zz12|＝52，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝5213252222()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【注】复数问题可利用几何意义而几何化。也可设复数的代数形式、三角形式转化成代数问题或三角问题，还可直接利用复数性质求解。例3.直线L的方程为：x＝－p2(p0),椭圆中心D(2＋p2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(p2,0)，设椭圆与双曲线ypxxpy22222241[()]……【注】判别式法（注意解的范围）、定义法、数形结合法、转化思想、方程思想等知识综合运用。例4.设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m2＋15}(m∈Z)，C＝{(x,y)|x2＋y2≤144}，讨论是否存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15;设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝144有公共点，所以圆心到直线距离d＝||315122nn＝3(n21＋412n)≥12∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法研究。此题也属探索性问题用数形结合法解。Ⅲ、巩固性题组：yADOBxC1.已知5x＋12y＝60，则xy22的最小值是_____。A.6013B.135C.1312D.12.已知集合P＝{(x,y)|y＝92x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。A.|b|3B.|b|≤32C.－3≤b≤32D.－3b323.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。A.1B.2C.3D.以上都不对4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。5.若不等式m|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。6.设z＝cosα＋12ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。7.若方程x2－3ax＋2a2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。8.sin220°＋cos280°＋3sin20°·cos80°＝____________。9.解不等式：xx22b－x10.设A＝{x|1x3}，又设B是关于x的不等式组xxaxbx2220250≤≤的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。（90年高考副题）11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。12.已知函数y＝()x112＋()x592，求函数的最小值及此时x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。