普通高等学校数学招生全国统一考试5

普通高等学校数学招生全国统一考试5数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21sincos)cos()cos(21sinsin一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件3,2,11M的集合M的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4（2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（A）21（B）22（C）23（D）1（3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为减函数的是（A）y=cos2x（B）y=2|sinx|正棱台、圆台的侧面积公式lccS)(21＝台侧其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV＝球其中R表示球的半径（C）xycos)31(（D）y=－cotx（4）64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则（A）V甲V乙且S甲S乙（B）V甲V乙且S甲S乙（C）V甲=V乙且S甲S乙（D）V甲=V乙且S甲=S乙（5）已知某曲线的参数方程是tansecyx（为参数）．若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（A）=1（B）cos2=1（C）2sin2=1（D）2cos2=1（6）给定四条曲线：①,2522yx②,14922yx③,1422yx④.1422yx其中与直线05yx仅有一个交点的曲线是（A）①②③（B）②③④（C）①②④（D）①③④（7）已知z1，z2∈C且|z1|=1．若z1＋z2=2i，则|z1－z2|的最大值是（A）6（B）5（C）4（D）3（8）若11cot21cot，则2sin12cos的值为（A）3（B）－3（C）－2（D）－21（9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（A）4448412CCC种（B）34448412CCC种（C）3348412PCC种（D）334448412PCCC种（10）设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”．那么，甲是乙的（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分又非必要条件（11）已知f（x）是定义在（－3，3）上的奇函数，当0x3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（A）)3,2()1,0()2,3(（B）)3,2()1,0()1,2(（C）)3,1()1,0()1,3(（D）)3,1()1,0()2,3(（12）如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意∈［0，1］，)()1()(])1([2121xfxfxxf恒成立”的只有（A）f1（x），f3（x）（B）f2（x）（C）f2（x），f3（x）（D）f4（x）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）)52arcsin(，)43arccos(，45arctan从小到大的顺序是_____________________．（14）等差数列｛an｝中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_____________．（15）关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________（注：把你认为是正确判断的序号都填上）．（16）已知P是直线3x＋4y＋8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为____________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解不等式212xx．（18）（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h．（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算．已知它的体积公式是6hV（S上底面＋4S中截面＋S下底面）试判断V估与V的大小关系，并加以证明．（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）（19）（本小题满分12分）数列｛xn｝由下列条件确定：)(21,011nnnxaxxax，n∈N．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有axn；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有1nnxx；（Ⅲ）若数列｛xn｝的极限存在，且大于零，求nnxlim的值．（20）（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和ninivvvvv1321．计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v1＋v22v21v2＋v1（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v23v34v4（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到niiv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）（21）（本小题满分12分）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．（22）（本小题满分14分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若nfufnn)2(,2)2(（n∈N），，求数列｛un｝的前n项的和Sn．普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B（2）D（3）B（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）A（10）C（11）B（12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）)43arccos()52arcsin()45arctan(（14）4（15）①②③④⑤（16）22三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）本小题考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分12分．解：原不等式212212xxxx因为2)2(1202012212212xxxxxxxx052212xxx21x又2)2(1202012212xxxxxx或02012xx05622xxx或221x512xx或221x52x或221x521x所以，原不等式组52152121xxx因此，原不等式的解集为521xx（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G．∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°∴AB⊥PQ，AB⊥B1P．∴∠B1PG为所求二面角的平面角．过C1作C1H⊥PQ，垂足为H．由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形．∴)(21dbPG，又B1G=h，∴)(2tan1dbdbhPGB，∴dbhPGB2arctan1,即所求二面角的大小为dbh2arctan．（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF．∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB∥EF．∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD．（Ⅲ）V估V．证明：∵ac，bd，∴hdbcadbcaabcdhVV22)224(6估))((3))((22212dbcadbcaabcdh0))((12dbcah∴V估V．（19）本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由x1=a0，及)(211nnnxaxx，可归纳证明xn0（没有证明过程不扣分）．从而有axaxxaxxnnnnn)(211（n∈N），所以，当n≥2时，axn成立．（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为0axn，)(211nnnxaxx所以021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx，故当n≥2时，xn≥xn＋1成立．证法二：当n≥2时，因为0axn，)(211nnnxaxx，所以122)(21222221nnnnnnnnnnxxxxaxxxaxxx，故当n≥2时，xn≥xn＋1成立．（Ⅲ）