普通高等学校数学招生全国统一考试

普通高等学校数学招生全国统一考试数学（理工类）（上海卷）考生注意：1.答案前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有22道试题，满分150分。考试时间120分钟。请考生用钢笔或圆珠笔答案直接写在试卷上。一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。（1）设函数,),1(,log]1,(,2)(81xxxxfx则满足41)(xf的x值为.（2）设数列｛an｝的通项为an=2n-7(n∈N)，则|a1|+|a2|+……+|a15|=.（3）设P为双曲线1422yx上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是.（4）设集合},02cos|{},),158lg(lg2|{RxxxBRxxxxA，则A∩B的元素个数为个.（5）抛物线x2－4y－3=0的焦点坐标为.（6）设数列｛an｝是公比q0的等比数列，Sn是它的前n项和，若7limnnS，则此数列的首项a1的取值范围是.（7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种。（结果用数值表示）（8）在代表式的展开式522)11)(524(xxx中，常数项为.（9）设x=sinα，且]65,6[，则arccosx的取值范围是。（10）直线212xy与曲线2cossinyx（φ为参数）的交点坐标是。（11）已知两个圆：122yx①与1)3(22yx②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：。（12）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。（13）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件（14）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点。若,,,11111CAAbDAaBA则下列向量中与MB1相等的向量是（A）cba2121（B）cba2121（C）cba2121（D）cba2121（15）已知a、b为两条不同的直线，α、β为两上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，则下列命题中的假命题是（A）若a∥b，则a∥β.（B）若α⊥β，则a⊥b.（C）若a、b相交，则α、β相交.（D）若α、β相交，则a、b相交.（16）用计算器验算函数)1(lgxxxy的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（A）xxylg在（1，＋∞）上是单调减函数（B）xxylg，x∈（1，＋∞）有最小值（C）xxylg，x∈（1，＋∞）的值域为]33lg,0(（D）.,0lglimNnnnn三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。（17）（本题满分12分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积。若a=4，b=5，35S，求c的长度。（18）（本题满分12分）设F1、F2为椭圆14922yx的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求||||21PFPF的值。（19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。在棱长为a的正方体OABC－O’A’B’C’中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.（Ⅰ）求证：A’F⊥C’E;（Ⅱ）当三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，求二面角B’－EF－B的大小。（结果用反三角函数表示）（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分。对任意一人非零复数z，定义集合}.,|{12NnzwwMnz（Ⅰ）设α是方程21xx的一个根.试用列举法表示集合Ma，若在Ma中任取两个数，求其和为零的概率P;（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：zMM（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).（Ⅰ）试规定f(0)的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设211)(xxf。现有a(a0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由。（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经按列发生器，其工作原理如下：②若x1∈D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，现定义124)(xxxf.（Ⅰ）若输入65490x，则由数列发生器产生数列｛xn｝。请写出数列｛xn｝的所有项：（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值；（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足；对任意正整数n，均有xnxn+1，求x0的取值范围。数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明：１．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。２．评阅试卷，就坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响决定后面的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。３．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。（1）3．（2）153（3）x2－4y2＝1.（4）1（5）)41,0(（6）（０，７）（7）7（8）15（9）]32,0[（10）)21,21(（11）设圆方程：222)()(rbyax①，222)()(rdycx②（a≠c或b≠d），则由①－②，得两圆的对称轴方程。（12）二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。（13）C（14）A（15）D（16）D三、（第17题至第22题）（17）[解]∵CabSsin21∴,23sinC……（４分）于是∠C＝60°，或∠C＝120°.……（6分）又,cos2222Cabbac当∠C＝60°时，;21,222cabbac……（9分）当∠C＝120°时，.61,222cabbac……（12分）（18）[解法一]由已知.52||,6||||2121FFPFPF……（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则,||||||2212221FFPFPF即,20|)|6(||2121PFPF得,34||,314||21PFPF故;27||||21PFPF……（9分）若∠F1PF2为直角，则,||||||2221221PFPFFF即,|)|6(||202121PFPF得,2||,4||21PFPF故.2||||21PFPF……（12分）[解法二]由椭圆的对称性不妨设P(x，y)（x0，y0），则由已知可得).0,5(),0,5(21FF……（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则),34,5(P于是,34||,314||21PFPF故;27||||21PFPF……（9分）若∠F1PF2为直角，则15514922xyxyyx，解得,554,553yx即),554,553(P于是,2||,4||21PFPF故.2||||21PFPF……（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）（19）（１）[证明]如图，以O为原点建立空间直角坐标系。设AE＝BF＝x，则A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)}.,,{'},,,{'aaxaECaaxFA……（4分）∵,0)(''2aaxaxaECFA∴A’F⊥C’E.（２）[解]记BF=x，BE＝y，则x+y=a，三棱锥B’－BEF的体积,241266132ayxaxyaV当且仅当2ayx时，等号成立。因此，三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，.2aBFBE……（10分）过Ｂ作BD⊥EF交EF于D，连B’D，可知B’D⊥EF.∴∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。在直角三角形BEF中，直角边BDaBFBE,2是斜边上的高，∴,42aBD,22''BDBBDBBtg故二面角B’－EF－B的大小为.22arctg……（14分）（20）（1）[解]∵α是方程0122xx的根，∴).1(22)1(2221ii或……（2分）当)1(221i时，∵112112121)(,nnnii∴11111,,1,1iiM.)1(22),1(22),1(22),1(22iiii当)1(222i时，∵,22i∴.1,,1,122222MiiM.)1(22),1(22),1(22),1(22iiii当)1(222i时，∵,22i∴.}1,,1,{122222MiiM因此，不论α取哪一个值，集合Mα是不变的，即)}.1(22),1(22),1(22),1(22{iiiiM……（8分）于是.31224CP……（10分）（２）[证明]∵ω∈Mz，∴存在m∈N，使得12mz.……（12分）于是对任意n∈N，)12)(12(12nmnz，由于(2m－1)(2n－1)是正奇数，znM12，所以zMM.……（14分）（21）[解]（１）f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。…（2分）（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：.21)1(,1)0(ff在[0,+∞]上f(x)单调递减，且0f(x)≤1.……（8分）（3）设仅清洗一次，残留的农药量为,1121af清洗两次后，残留的农药量为,)4(1621122222aaf……（12分）则.)4)(1()8()4(16112222222221aaaaaaff于是，当22a时，f1f2;当22a时，f1＝f2;当220a时，f1f2;当22a时，清洗两次后残留的农药量较少；当