普通高等学校春季招生考试高三数学卷1

普通高等学校春季招生考试高三数学卷1第Ⅰ卷参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinS台侧=lcc)(23)]sin()[sin(21sincos其中c、c分别表示上下底面周长l表示斜高或母线长)cos()[cos(21coscos球的体积公式)]cos()[cos(21cossinV锥334R，R表示球的半径第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）2i的共轭复数是A．2iB．2iC．2iD．2i（2）函数()1fxx的图象是（3）下列命题中，正确的是：A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线—定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行（4）如果函数()sin()fxx(02)的最小正周期是T，且当2x时取得最大值，那么A．2,2TB．1,TC．2,TD．1,2T（5）“0ab”是“曲线221axby为双曲线”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件（6）直线320xy被圆22(1)1xy所截得的线段的长为A．1B．2C．3D．2（7）在ABC中，已知2sincossinABC，那么ABC一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形（8）若不等式1(1)(1)2nnan对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A．32,2B．3(2,)2C．33,2D．3(3,)2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）22lim23nnn．（10）椭圆221259xy的离心率是，准线方程是。（11）已知23sincos223，那么sin的值为，cos2的值为．（12）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为a．将该正方体沿对角面11BBDD切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为．（13）从—1，０，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()fxaxbxc的系数，可组成不同的二次函数共有个，其中不同的偶函数共有个(用数字作答)．（14）若关于x的不等式20xaxa的解集为(,)，则实效a的取值范围是；三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚(15)(本小题满分12分)记函数()lg(23)fxx的定义域为集合M，函数()(3)(1)gxxx的定义域为集合N．求（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ）集合,MNMN．(16)(本小题满分14分)如果正三棱锥S-ABC中，底面的边长为3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点。求（Ⅰ）AMSM的值（Ⅱ）二面角SBCA的大小；（Ⅲ）正三棱锥S-ABC的体积．(17)(本小题满分14分)已知na是等比数列，142,54aa；nb是等差数列，12,b1234123bbbbaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式及前n项和nS的公式；（Ⅱ）求数列nb的通项公式；（Ⅲ）设14732nnbbbbU，其中n＝1，2，…，求10U的值(18)(本小题满分14分)如图，Ｏ为坐标原点，过点(2,0)P且斜率为k的直线l交抛物线22yx于11(,)Mxy，22(,)Nxy两点．（Ⅰ）写出直线l的方程；（Ⅱ）求12xx与12yy的值（Ⅲ）求证：OMON(19)(本小题满分13分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆／小时)与汽车的平均速度v／(千米／小时)之间的函数关系为2920(0)31600vyvvv（Ⅰ）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0．1千辆／小时)（Ⅱ）若要求在该时段内车流量超过10千辆／小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?(20)(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,,aaaaaa其中00a．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记015,Taaa，5nnx，01,1()nnyaaaT作函数()yfx，使其图象为逐点依次连接点(,)(0,1,2,,5)nnnPxyn的折线．（Ⅰ）求(0)f和(1)f的值；（Ⅱ）设1nnPP的斜率为(1,2,3,4,5)nkn，判断12345,,,,kkkkk的大小关系；（Ⅲ）证明：()nnfxx(1,2,3,4)n；（Ⅳ）求由函数y=x与()yfx的图象所围成图形的面积(用12345,,,,aaaaa表示)．普通高等学校春季招生考试参考答案一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本技能．每小题5分，满分40分．(1)D(2)B(3)C(4)A(5)C(6)C(7)B(8)A二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．(9)12(10)425,54x(11)17,39(12)2(422)a(13)6,18(14)(4,0)三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15)本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．解：（Ⅰ）32302Mxxxx；03,1(3)(1)Nxxxxxx或（Ⅱ）3MNxx，31,2MNxxx或(16)本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．满分14分．解：（Ⅰ）∵,SBSCABAC，M为BC中点∴,SMBCAMBC．由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即113222BCSMBCAM，得32AMSM(Ⅱ)作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，13GMAM∵,SMBCAMBC∴SMA是二面角SBCA的平面角在RtSGM中，223233SMAMGMGM∴60SMASMG，即二面角SBCA的大小为60（Ⅲ）∵ABC的边长是3∴33333,,tan6032222AMGMSGGM∴119339333428SABCABCVSSG(17)本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）设na的公比为q，由341aaq得327q，3q∴数列na的通项公式是123nna数列na的前n项和公式是1(1)311nnnaqSq(Ⅱ)设数列nb的公差为d，由1234bbbb1434862bdd由1234bbbb31233126aaa，得8626d，3d，所以131(1)nbbnnd．(Ⅲ)14732,,,,nbbbb组成以3d为公差的等差数列，所以1101010(101)34252Ubd(18)本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分14分。（Ⅰ）解：直线l的方程为(2)(0)ykxk①(Ⅱ)由①及22yx消去y得22222(21)40kxkxk②点Ｍ，N的横坐标12,xx为②的两个根，由韦达定理得122244kxxk．由2112yx，2222yx，得21212()416yyxx注意到120yy，所以124yy，所以12121211122yybpayybyypa(Ⅲ)证明：设直线OM，ON的斜率分别为12,kk，则121212,kkyyxx相乘得121212414yykkxx，所以OMON．(19)本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，9203(920920160083321600)yvv，当且仅当1600vv，即v=40时，等号成立，所以max92011.183y(千辆／小时)．(Ⅱ)由条件得9203(1600)10yvv，整理得28916000vv，即(25)(64)0vv解得25v64．答：当v=40千米／小时时，车流量最大，最大车流量约为11．1千辆／小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆／小时，则汽车的平均速度应大于25千米／小时且小于64千米／小时．(20)本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：0150(0)0aaaaf，015015(1)1aaaaaaf(Ⅱ)解：115,1,2,3,4,5nnnnnnyykanxxT，因为512aaa，所以512kkk．(Ⅲ)证法一：对任何n(n＝1，2，3，4)，5(12naaa)＝12(5)()nnnaaa1212()(5)()nnnaaanaaa≤12()(5)nnnaaanna12()(5)nnnaaana1215()nnnaaaaanT所以12()5nnnaaanfxxT证法二：对任何n(n＝1，2，3，4)，当1nk时，10211()()()nnnyyyyyyy121()55nnnkkkx当1nk时，55()nnyyyy12154()()()1nnnnyyyyyy12511()1551(5)5nnnkkkxnn综上()nnfxx．