函数的单调性复习

利用导数求函数的单调性例讨论下列函数的单调性：1．xxaaxf)(（0a且1a）；2．)253(log)(2xxxfa（0a且1a）；3．)0,11(1)(2bxxbxxf．分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(xf，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(xf的符号，来确定函数)(xf在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．解：1．函数定义域为R．).(ln)(lnln)(xxxxaaaxaaaaxf当1a时，.0)(,0,0lnxfaaaxx∴函数)(xf在),(上是增函数．当10a时，.0)(,0,0lnxfaaaxx∴函数)(xf在),(上是减函数．2．函数的定义域是31x或.2x)2)(13(log)56()253(253log)(22xxexxxxxexfaa①若1a，则当31x时，0)2)(13(,056,0logxxxea，∴0)(xf，∴函数)(xf在，31上是增函数；当2x时，0)(xf，∴函数)(xf在2,上是减函数②若10a，则当31x时，0)(xf，∴函数)(xf在，31上是减函数；当2x时，0)(xf，∴函数)(xf在2,上是增函数3．函数)(xf是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性当10x时，2222)1()1()1()(xxxxxbxf222)1()1(xxb若0b，则0)(xf，函数)(xf在（0，1）上是减函数；若0b，则0)(xf，函数)(xf在（0，1）上是增函数．又函数)(xf是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当0b时，函数)(xf在（－1，1）上是减函数，当0b时，函数)(xf在（－1，1）上是增函数．说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定)(xf的符号，否则会产生错误判断．分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．利用导数求函数的单调区间例求下列函数的单调区间：1．32)(24xxxf；2．22)(xxxf；3．).0()(bxbxxf分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．解：1．函数)(xf的定义域为R，xxxxxxf)1)(1(44)(4令0)(xf，得01x或1x．∴函数)(xf的单调递增区间为（－1，0）和),1(；令0)(xf，得1x或10x，∴函数)(xf的单调递减区间为)1,(和（0，1）．2．函数定义域为.20x.2122)2()(222xxxxxxxxf令0)(xf，得10x．∴函数)(xf的递增区间为（0，1）；令0)(xf，得21x，∴函数)(xf的单调递减区间为（1，2）．3．函数定义域为).)((11)(,022bxbxxxbxfx令0)(xf，得bx或bx．∴函数)(xf的单调递增区间为),(b和),(b；令0)(xf，得bxb且0x，∴函数)(xf的单调递减区间是)0,(b和),0(b．说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(xf的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(和)1,0()1,(的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．求解析式并根据单调性确定参数例已知cxxf2)(，且).1()]([2xfxff1．设)]([)(xffxg，求)(xg的解析式；2．设)()()(xfxgx，试问：是否存在实数，使)(x在1,内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．分析：根据题设条件可以求出)(x的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．解：1．由题意得ccxcxfxff222)()()]([，)1()]([.)1()1(2222xfxffcxxf，∴.1,1,)1()(222222cxcxcxccx∴.1)1()1()]([)(,1)(2222xxfxffxgxxf2．)2()2()()()(24xxxfxgx．若满足条件的存在，则.)2(24)(3xxx∵函数)(x在1,内是减函数，∴当1x时，0)(x，即0)2(243xx对于)1,(x恒成立．∴.44,1,4)2(222xxx∴4)2(2，解得4．又函数)(x在（－1，0）上是增函数，∴当01x时，0)(x即0)2(243xx对于)0,1(x恒成立，∴.044,01,4)2(222xxx∴4)2(2，解得4．故当4时，)(x在1,上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用axf)(恒成立axfmax)]([和axf)(恒成立axfmin)]([，究其原因是对函数的思想方法理解不深．利用导数比较大小例已知a、b为实数，且eab，其中e为自然对数的底，求证：abba．分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(baxxgxf，可以等价转化为证明0)()()(xgxfxF，如果0)(xF，则函数)(xF在),(ba上是增函数，如果0)(aF，由增函数的定义可知，当),(bax时，有0)(xF，即)()(xgxf．解：证法一：eab，∴要证abba，只要证baablnln，设)(lnln)(ebbaabbf，则baabfln)(．eab，∴1lna，且1ba，∴.0)(bf∴函数baabbflnln)(在),(e上是增函数．∴0lnln)()(aaaaafbf，即0lnlnbaab，∴.,lnlnabbabaab证法二：要证abba，只要证)(lnlnbaebaab，即证bbaalnln，设)(ln)(exxxxf，则0ln1)(2xxxf，∴函数)(xf在),(e上是减函数．又)()(,bfafbae，即.,lnlnabbabbaa说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出)()()()(xgxfxgxf的错误结论．判断函数在给定区间上的单调性例函数xy11log21在区间),0(上是（）A．增函数，且0yB．减函数，且0yC．增函数，且0yD．减函数，且0y分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令xu11，且1),,0(ux，则0log21uy，排除A、B．由复合函数的性质可知，u在),0(上为减函数．又uy21log亦为减函数，故xy11log21在),0(上为增函数，排除D，选C．解法二：利用导数法0log)1(11log1112221exxxexy（),0(x），故y在),0(上是增函数．由解法一知0y．所以选C．说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．