高三文科数学函数与导数专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料——《函数与导数》专题1．设()fx是定义在(,)上的函数，对一切xR均有()(3)0fxfx，且当11x时，()23fxx，求当24x时，()fx的解析式．2.已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数．（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围.3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.（1）判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·(x)21(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.4.对于函数2()(1)2(0)fxaxbxba，若存在实数0x，使00()fxx成立，则称0x为()fx的不动点．（1）当2,2ab时，求()fx的不动点；（2）若对于任何实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在(2)的条件下，若()yfx的图象上,AB两点的横坐标是函数()fx的不动点，且直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．5.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.（1）求实数a、b、c的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.6．设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a和b的值；（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7.2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：[ln()ln(2)]4ln2(0)ykmxmk其中.当燃料重量为me)1(吨（e为自然对数的底数，72.2e）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（Ⅰ）求火箭的最大速度)/(skmy与燃料重量x吨之间的函数关系式)(xfy；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量x（件）（891xNx且）的关系符合如下规律：又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失2元).0(a（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取7.13计算）．9.某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足13mkx（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当x1234…89992491972481…112一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数)(xfP的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11.甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（Ⅰ）试解释20)0(,10)0(gf的实际意义；（Ⅱ）设20)(,1041)(xxgxxf，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x的函数为)352(32402xxy，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案1.解：由()(3)0fxfx有(3)()fxfx，当11x时，(3)()23fxfxx.设3xt，则由11x得24t，又3xt，于是()2(3)329fttt，故当24x时，()29fxx．2.解：（Ⅰ）因为()fx是奇函数，所以(0)f=0，即111201()22xxbbfxaa又由f（1）=-f（-1）知111222.41aaa（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221xxxfx，易知()fx在(,)上为减函数．又因()fx是奇函数，从而有不等式：22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk，从而判别式14120.3kk３.解:（1）∵f)49(1=2-49=-5(1,4]，∴f)(1x不在集合A中．又∵x≥0,∴0＜(x)21≤1，∴0＜3·(x)21≤3，从而1＜1+3·(x)21≤4．∴f2(x)∈(1,4]．又f2(x)=1+3·(x)21在[0，+∞)上为减函数，∴f2(x)=1+3·(x)21在集合A中.（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+415·(x)21≤423．又由已知f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立,∴k≥423．因此所求实数k的取值范围是[423,+∞)．４.解：2()(1)2(0)fxaxbxba，（1）当2,2ab时，2()24fxxx．设x为其不动点，即224xxx，则22240xx．所以121,2xx，即()fx的不动点是1,2.（2）由()fxx得220axbxb.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0abab，即2480baba对任意bR恒成立．20,16320baa，02a．（3）设1122(,),(,)AxyBxy，直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，1k．记AB的中点00(,)Mxx，由(2)知02bxa．212()20,bfxxaxbxbxxaM在2121ykxa上，212221bbaaa化简得：211212141222abaaaaa，当22a时，等号成立．即22,,44bb5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P（2，0）∴f(2)=0即2×23+a×2=0，所以a=－8．g(2)=0即：4×b+c=0又∵f(x)，g(x)在P处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16，∴a=－18，b=4，c=－16．（2）由F(x)=2x3+4x2－8x－16，有F′(x)=6x2+8x－8解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得x≤－2或x≥32即单调增区间为),32[],2,(．同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤32，即单调减区间为[－2，32]．6.解：（Ⅰ）f′(x)=xa+2bx+1，由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且2a+4b+1=0,解方程组可得a=－32,b=－61,∴f(x)=－32lnx－61x2+x．（Ⅱ）f′(x)=－32x-1－31x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值65,在x=2处函数取得极大值34－32ln2.7.解：（Ⅰ）依题意把4,)1(ymex代入函数关系式.8,2ln4)]2ln()[ln(kmxmky解得所以所求的函数关系式为,2ln4)]2ln()[ln(8mxmy整理得.)ln(8mxmy（Ⅱ）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，8,544yxm，代入函数关系式).(344,1544544ln,)ln(8txxmxmy解得得即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8.解:（Ⅰ）由与x的对应规律得次品率为),891(1002Nxxx故日产量x件中，次品数为x件，正品数为)(xx件．则日盈利额),891)(1003(NxxxxxaT．（Ⅱ）)891)](100300100(103[)1003(xNxxxaxxxaT且（注：此步可由换元法令tx100得到）320100300100xx当且仅当xx100300100时取等号．由,83310100,100300100xxx得83x当时，xx100300100取得最小值，又0，取得最大值时当Tx,83，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．9.解（1）由题意可知当0m时，1x（万件）,231kk即123mx每件产品的销售价格为xx1685.1（元）)168(]1685.1[2006mxxxxy年的利润mnmx)123(8484…)0(29)]1(116[mmm（2）,8162)1(116,0mmm时31116,21298mmmy当且仅当（万元）时，21maxy（万元）所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为ox个，则.55002.05160100ox因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当;60,1000Px时当,550100时x;5062)100(02.060xxP当.51,550Px时所以),550(,51)(),550100(,5062),1000(,60)(xNxxxxxfP（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则),550(,11)(),550100(,5022),1000(,20)40(2xxNxxxxxxxPL由于当2000,100