高三数学普通高等学校招生全国统一考试试卷

高三数学普通高等学校招生全国统一考试试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么()()()PABPAPB如果时间A、B相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1nkkknnPkCPP球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径球的体积公式343VR，其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U，集合{1,3,5}S，{3,6}T，则UCST等于（）A．B．{2,4,7,8}C．{1,3,5,6}D．{2,4,6,8}解：{1,3,5,6}ST，则UCST＝{2,4,7,8}，故选B（2）不等式112x的解集是（）A．(,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,2)(2,)解：由112x得：112022xxx，即(2)0xx，故选D。（3）函数1()xyexR的反函数是（）A．1ln(0)yxxB．1ln(0)yxxC．1ln(0)yxxD．1ln(0)yxx解：由1xye得：1ln,xy即x=-1+lny，所以1ln(0)yxx为所求，故选D。（4）“3x”是24x“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：条件集是结论集的子集，所以选B。（5）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．4D．4解：椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选D。（6）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．23B．13C．23D．223解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由238234a知，1a，则此球的直径为2，故选A。（7）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)解：由圆2220(0)xyaya的圆心(0,)a到直线1xy大于a，且0a，选A。（8）对于函数sin1(0)sinxfxxx，下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值解：令sin,(0,1]txt，则函数sin1(0)sinxfxxx的值域为函数11,(0,1]ytt的值域，而11,(0,1]ytt是一个减函减，故选B。（9）将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．sin()6yxB．sin()6yxC．sin(2)3yxD．sin(2)3yx解：将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象所对应的解析式为sin()6yx，由图象知，73()1262，所以2，因此选C。（10）如果实数xy、满足条件101010xyyxy，那么2xy的最大值为（）A．2B．1C．2D．3解：当直线2xyt过点(0，-1)时，t最大，故选B。（11）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则（）A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（）A．17B．27C．37D．47解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得3824C，所以选C。2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。（13）设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则a＝_____。解：1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得4431=22rrCa由知a=。（14）在ABCD中，,,3ABaADbANNC，M为BC的中点，则MN_______。（用ab、表示）解：343A=3()ANNCANCab由得，12AMab，所以3111()()4244MNababab。（15）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________。解：由12fxfx得14()2fxfxfx，所以(5)(1)5ff，则115(5)(1)(12)5fffff。（16）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．）解：如图，B、D到平面的距离为1、2，则D、B的中点到平面的距离为32，所以C到平面的距离为3；B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为x，则1221xx或，即1x，所以D到平面的距离为1；C、D到平面的距离为1、2，同理可得B到平面的距离为1；所以选①③。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本大题满分12分）已知40,sin25（Ⅰ）求22sinsin2coscos2的值；（Ⅱ）求5tan()4的值。解：(Ⅰ)由40,sin25，得3cos5，所以22sinsin2coscos2＝22sin2sincos203cos1。（Ⅱ）∵sin4tancos3，∴5tan11tan()41tan7。（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15PA。（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故22661113()1()15PBCC。（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，1PA，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。ABCDEFOP第19题图HABCD第16题图A1（Ⅰ）证明PA⊥BF；（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ABF为等腰三角形，∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴12AO，32DO，32BO。过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以AHD为所求二面角平面角。在AHO中，OH=64，12tan64AOAHOOH=63。在DHO中，32tan664DODHOOH；而66463tantan()36163AHDAHODHO（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，12,0)，B(32，0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2PA，3(,0,1)2PB，(0,2,1)PD设平面PAB的法向量为111(,,1)nxy，则1nPA，1nPB，得1111023102yx，123(,2,1)3n；设平面PDB的法向量为222(,,1)nxy，则2nPD，2nPB，得222103102yx，2231(,,1)32n；121212cos,||||nnnnnn（20）（本大题满分12分）设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。证明（Ⅰ）∵32fxxbxcx，∴232fxxbxc。从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc＝32(3)(2)xbxcbxc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx，从而2()36gxx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()gx是单调递增区间；(2,2)是函数()gx是单调递减区间；()gx在2x时，取得极大值，极大值为42，()gx在2x时，取得极小值，极小值为42。（21）（本大题满分12分）在等差数列na中，11a，前n项和nS满足条件242,1,2,1nnSnnSn，（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）记(0)nannbapp，求数列nb的前n项和nT。解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d,由2421nnSnSn得：1213aaa，所以22a，即211daa，又1211122()42212nnnnnnandan