高三数学二月调研测试试卷(理科)

武汉市2007届高中毕业生二月调研测试理科数学试卷2007.2.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=ii－1的值为()A.12(1＋i)B.－12(1＋i)C.12(1－i)D.－12(1－i)2.在等比数列{an}中,a3=32,S3=92,则首项a1=()A.32B.－32C.6或－32D.6或323.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在()A.x轴上B.y轴上C.直线y=x上D.直线y=x或y=－x上4.已知全集U=R,A={x|x＋1x≥0},则CuA=()A.{x|－1x≤0}B.{x|－1x0}C.{x|－1≤x0}D.{x|－1≤x≤0}5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分别为AA1,C1D1,BC的中点,那么直线B1E与FM所成角的余弦值为()A.0B.1C.12D.136.若AB过椭圆x225＋y216=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.487.在△ABC中,D为AC边的中点,E为AB上一点,BC、CF交于一点F,且2BFFD,若,BEBA,则实数λ的值为()A.34B.12C.23D.138.将4个相同的小球投入3个不同的盒内,不同的投入方式共有()A1B1C1D1ABCDFMA.43种B.34种C.15种D.30种9.如果实数x、y满足4303x+5y250x1xy,目标函数z=kx＋y的最大值为12,最小值3,那么实数k的值为()A.2B.－2C.15D.不存在10.函数y=|cos2x|＋|cosx|的值域为()A.[12,2]B.[22,2]C.[22,98]D.[32,2]二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.(1＋x)6(1－x)展开式中x2项的系数是________12.x→1lim311xx=_________13.如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y=2x2有且仅有一个公共点,那么直线l的方程为_______14.正四棱锥S－ABCD内接于一个半径为R的球,那么这个正四棱锥体积的最大值为_____15.函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形,其对称中心的坐标为_________三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写了文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=θ,而△BCD是正三角形,(1)将四边形ABCD面积S表示为θ的函数;(2)求S的最大值及此时θ角的值.ABCD17.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中AB=BC=2,∠ABC=120°,又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上,侧棱AA1与底面成60°的角,D为AC的中点.(1)求证:AA1⊥BD;(2)若面A1DB⊥面DC1B,求侧棱AA1之长.18.(本小题满分12分)A袋中装有大小相同的红球1个,白球2个,B袋中装有与A袋中相同大小的红球2个,白球3个.先从A中取出1个球投入B中,然后从B中取出2个球.设ξ表示从B中取出红球的个数.(1)求ξ=2时的概率;(2)求ξ的分布列和数学期望19.(本小题满分13分)如图,直线l:y=43(x－2)和双曲线C:x2a2－y2b2=1(a0,b0)交于A、B两点,|AB|=1211,又l关于直线l1:y=bax对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程.ABCDA1B1C1BAMxyOl1l2l20.(本小题满分13分)已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式:nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2(n∈N＋)(1)若a1=0,求a2,a3的值;(2)求证:a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件.21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2＋2x＋alnx(1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒为单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t－1)≥2f(t)－3恒成立,求实数a的取值范围.参考答案1.C2.D3.D4.A5.A6.B7.B8.C9.A10.B11.912.1313.x=1或y=4x－214.6481R315.(1,－3)16.解:(1)△ABD的面积S=12absinC=12·1·1·sinθ=12sinθ∵△BDC是正三角形,则△BDC面积=34BD2:而由△ABD及余弦定理可知:BD2=12＋12＋2·1·1·cosθ=2－2cosθ于是四边形ABCD面积S=12sinθ＋34(2－2cosθ)S=32＋sin(θ－π3)其中0θπ(2)由S=32＋sin(θ－π3)及0θπ则－π3θ－π32π3在θ－π3=π2时,S取得最大值1＋32此时θ=π3＋π2=5π617.(1)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,因为A1在底面ABC上射影落在AC上,则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线故侧面A1C⊥面ABC.又BD为等腰△ABC底边AC上中线,则BD⊥AC,从而BD⊥面AC.∴BD⊥面A1C又AA1面A1C∴AA1⊥BD(2)在底面ABC,△ABC是等腰三角形,D为底边AC上中点,故DB⊥AC,又面ABC⊥面A1C∴DB⊥面A1C,则DB⊥DA1,DB⊥DC1,则∠A1DC1是二面角A1－OB－C1的平面角∵面A1DB面DC1B,则∠A1DC1=Rt∠,将平面A1ACC1放在平面坐标系中(如图),∵侧棱AA1和底面成60°,设A1A=a,则A1=(a2,32a),C1(a2＋23,32a)A(0,0),C(23,0),AC中点D(3,0),由110ADDC知:(a2－3,32a)·(a2＋3,32a)=0,∴a2=3,a=3故所求侧棱AA1长为318.(1)ξ=2表示从B中取出两个红球.①从A中取一红球放入B中,再从B中取2红球的概率P=13·C32C62=115②从A中取一白球放入B中,再从B中取2红球的概率P=23·C22C62=245∴P(ξ=2)=115＋245=19(2)由(1)的方式可知:P(ξ=0)=13·C32C62＋23·C42C62=13A(O)CA1C1xyP(ξ=1)=13·C31·C31C62＋23·C21·C41C62=59∴ξ的概率分布列为:Eξ=1·2545＋2·545=3545=7919.解:(1)设双曲线一、三象限渐近线l1:xa－yb=0的倾斜角为α∵l和l2关于直线l1对称,记它们的交点为P.而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角)又AB:y=43(x－2),故tan2α=43则2tanα1－tan2α=43,求得tanα=12,tanα=－2(舍)∴ba=12,e2=c2a2=1＋(ba)2=54,因此双曲线C的离心率52.(2)∵ba=12,故设所求双曲线方程x24k2－x2k2=1将y=43(x－2),代入x2－4y2=4k2,消去y得:5536x2－649x＋649＋k2=0设A(x1,y1),B(x2,y2)|AB|=1+k2|x1－x2|=1+k2·(x1＋x2)2－4x1x2=1＋169·(649)2－4·5536(649＋k2)5536=1211,化简得到:464－55k211=1211,求得k2=1.故所求双曲线C的方程为:x24－y2=120.解:(1)由nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2(*)变形为n(Sn＋1－Sn)=2Sn＋an＋2,而Sn是{an}前n项和,于是有nan＋1=2Sn＋an＋2,a1=0,在n=1,a2=2a1＋a1＋2=2,则a2=2,在n=2,2a3=2(a1＋a2)＋a2＋2=4＋4=8,则a3=4(2)充分性:由(1)可猜测到:an=2n－2.下面先用数学归纳法证明:an=2n－2①在n=1时,a1=2×1－2=0与已知a1=0一致故n=1时,an=2n－2成立.②假设n≤k时,an=2n－2成立,∴Sk=a1＋a2＋……＋ak=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)∵(*)式nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立,则kan＋1=2Sk＋ak＋2=2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k2∴ak＋1=2k=2[(k＋1)－1]ξ012P135919故n=k＋1时,an=2n－2成立,综合①②可知:an=2n－2成立对n∈N*恒成立.∴数列{an}的通项为an=2n－1,∴an－an－1=2(n≥2,n∈N＋)由等差数列定义可知{an}是等差数列,从而充分性得证.必要性:由(1)可知nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立,则(n－1)an=2Sn－1＋an－1＋2(n≥2)(**)若{an}是等差数列,则an－an－1=d(n≥2),且an=a1＋(n－1)d.代入(**)式中有:n(an＋1－an)=2an－an－1∴nd=an＋d=a1＋(n－1)d＋d∴a1=0从而必要性得证.因此a1=0是数列{an}为等差数列的充分条件.21.解:(1)由f(x)=x2＋2x＋alnx求导数得f'(x)=2x＋2＋axf(x)在(0,1)上恒单调,只需f'(x)≥0或≤0在(0,1)上恒成立.只需2x2＋2x＋a≥0,或2x2＋2x＋a≤0恒成立即只需a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立.又记g(x)=－2x(x＋1),0x≤1可知:－4≤g(x)0∴所求a≥0或a≤－4(2)∵f(x)=x2＋2x＋alnx由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:(2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3化简为:2(t－1)2≥a·lnt22t－1①∵t1时,有t22t－1,则lnt22t－10.a≤2(t－1)2lnt22t－1②构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x－1),求导m'(x)=11＋x－1=－x1＋x则m(x)在x=0时取极大值,同时也是最大值.故m(x)≤m(0).从而ln(1＋x)≤x在x－1上恒成立.∴lnt22t－1=ln(1＋(t－1)22t－1)≤(t－1)22t－1(t－1)2③在t1时恒成立,而t=1时③式取等号.∴lnt22t－1≤(t－1)2④在t≥1时恒成立.因此由②④可知实数a取值范围:a≤2.