高三年级第二次模拟考试数学(理)

江西省重点中学联考盟校2007届高三年级第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．复数iaaaaz)23(222是纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．2C．－2D．2或12．函数)(,12.0Rxyx的反函数是（）A．)0(1log5xxyB．)10(1log5xxxy且C．)1()1(log5xxyD．)0(1log5xxy3．在10)3(x的展开式中，6x的系数是（）A．61027CB．41027CC．6109CD．4109C4．已知向量)1,2(),2,1(ba，若正数k和t使得向量btakybtax1)1(2与互相垂直，则k的最小值为（）A．1B．2C．4D．85．在△ABC中，A=45°，AB=3，则“BC=2”是“△ABC只有一解且C=60°”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既为充分也不必要条件6．已知函数axxxxaaxaxxf1,),1(12)(21212且若，则（）A．)()(21xfxfB．)()(21xfxfC．)()(21xfxfD．)()(21xfxf与的大小不能确定7．下列命题中，真命题是（）A．0)(lim,1)(xfxxfx则若B．0)(lim,)0(1)0()(xfxxxxxfx则若C．0)(lim,1)(1xfxxfx则若D．2)(lim,22)(22xfxxxxfx则若8．若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．椭圆或双曲线9．设21,xx是函数xxf2007)(定义域内的两个变量，且21xx，若)(2121xxa，那么下列不等式恒成立的是（）A．|)()(||)()(|21afxfxfafB．|)()(||)()(|21afxfxfafC．|)()(||)()(|21afxfxfafD．)(()(221afxfxf10．方程0),(yxf的曲线如右图所示，那么方程0),2(yxf的曲线是（）11．已知正三棱锥P—ABC的体积为,26外接球球心为O，且满足0OCOBOA,则正三棱锥P—ABC的外接球半径为（）A．1B．2C．3D．21,3,512．从数字1，2，3，…，10中，按由小到大的顺序取出2,2,,,2312321aaaaaaa且则不同的取法有（）种A．52B．54C．56D．58二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）13．若yxzyyxxyyx2,11,则满足条件的最大值是。14．等差数列有如下性质，若数列}{na是等差数列，则当}{,21nnnbnaaab数列时也是等差数列；类比上述性质，相应地}{nc是正项等比数列，当数列nd时，数列}{nd也是等比数列。15．已知随机变量)52(),2,3(2PN则=.（参考数据：Φ（0.25）=0.5987，Φ(0.5)=0.6915，Φ（1）=0.8413，Φ（1.5）=0.9332）16．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可能是：①三角形②菱形③矩形④正方形⑤正六边形。其中正确的结论是。（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。17．（本大题满分12分）已知函数xxxxxf44sincos)6sin(cos2)(（1）求)(xf的最小正周期；（2）若]6,12[x，求)(xf的最大值、最小值及相应的x的值。1,3,518．（本大题满分12分）某工厂举行羽毛球选拔赛，由三个车间各推荐两名员工，将这六名员工平均分成3组进行比赛。（1）求有且只有一个组的两名员工来自同一车间的概率（2）设有个组的两名员工来自同一车间，求的分布列和期望.19．（本大题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，∠BAC=90°，BB1=AB=1，又三棱锥P—ABC中，△PAB与△PBC是全等的正三角形。BC中点为O。（1）求证：BC1⊥平面AOB1；（2）求平面PAB与平面BB1C所成的锐二面角的大小；（3）点B在平面AB1O内的射影为G，求点G到平面PAB的距离。20．（本大题满分12分）若函数xxxgxxf2)(,ln)(（1）求函数))(()()(Rkxkfxgx的单调区间（2）若对所有的aaxxxfx)(),3[都有成立，求实数a的取值范围.21．（本大题满分12分）如图，已知双曲线)0,0(1:2222babxayC的离心率1,2Fe、F2分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且21MFMF=－1（1）求双曲线C的方程（2）直线l交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2，交双曲线上支于P、Q，且||,221PQPPPP求的最小值.22．（本大题满分14分）在),2(Nmmm个不同数的排列jimPPmjiPPP,1,),,,(21时若中（即前面某数大于后面某数）则称jiPP与构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.已知n+2)(Nn个不同数的排列),,,(2121nnPPPP的逆序数是2.（1）求（1，3，40，2）的逆序数；（2）写出),,,,(1212PPPPnn的逆序数an（3）令352212,22222111nbbbnaaaabnnnnnn证明.参考答案一、选择：1．C2．C3．D4．B5．B6．B7．D8．A9．B10．C11．B12．C二、填空13．314．nnCCC2115．0.532816．②③④⑤三、填空题17．解：（1）)sin)(cossin(cos)6sincos6cos(sincos2)(2222xxxxxxxf21)32sin(3212cos232sin232coscossincos32xxxxxxxT…………6分（2）由]32,6[32]6,12[xx2136321221)32sin(3)(时取最小值即在xxxxf21323212时取大值即在xx…………12分18．解：（1）62,151333222426CmACCCn52156P…………6分（2）1533222426ACCCn，三个组的员工都来自同一车间的情况有1种1581511561)3(P1,3,5013P1585215153E…………12分19．解：（1）由题意PA=AB=PA=AC=PC=1∴AO⊥BCAO⊥平面BB1C1CAO⊥BC1又221111CBBBBBBO在矩形BB1C1C中B1O⊥BC1∴BC1⊥平面AOB1…………4分（2）由题意得PA=AB=PA=AC=PC=1且BC=2∴PO=AO=22∴PO⊥CBPO⊥AOPO⊥平面ABC∴PO//BB1∴P点在平面BB1C内∴所求锐二面角即二面角A—PB—O，其中A在平面PBO上的射影即点O由AO=22，而A点到PB的距离为23，∴所求锐二面角为36arcsin…………8分（3）∵BC1⊥平面AOB1∴B在平面AB1O内的射影为G即BC1与OB1的交点设所求距离为h，由S△BGP=31SBPC1，hVVABPGBGPA232131226212131963h…………12分解法二：由题意，如图建立空间直角坐标系由)0,22,0(),0,22,0(),0,0,22(CBA),1,0,22(),22,0,0(1AP)0,0,0(),1,22,0(),1,22,0(11OCB（1）)1,22,0(),0,0,22(),1,2,0(11OBAOBC,,111OBBCAOBC11AOBBC平面………………（4分）（2）平面PAB有法向量),1,1,1(1n平面BB1C的法向量)0,0,1(2n31,cos21nn∴所求锐二面角为arcos33………………（8分）（3）131BCBG∴)31,62,0(G平面PAB有法向量),1,1,1(1n由)31,62,22(GA∴9363312||||11nnGAh………………（12分）19．解：（1）由题意PA=AB=PA=AC=PC=1∴AO⊥BCAO⊥平面BB1C1CAO⊥BC1又221111CBBBBBBO在矩形BB1C1C中B1O⊥BC1∴BC1⊥平面AOB1…………4分（2）由题意得PA=AB=PA=AC=PC=1且BC=2∴PO=AO=22∴PO⊥CBPO⊥AOPO⊥平面ABC∴PO//BB1∴P点在平面BB1C内∴所求锐二面角即二面角A—PB—O，其中A在平面PBO上的射影即点O由AO=22，而A点到PB的距离为23，∴所求锐二面角为36arcsin…………8分（3）∵BC1⊥平面AOB1∴B在平面AB1O内的射影为G即BC1与OB1的交点设所求距离为h，由S△BGP=31SBPC1，hVVABPGBGPA232131226212131963h…………12分解法二：由题意，如图建立空间直角坐标系由)0,22,0(),0,22,0(),0,0,22(CBA),1,0,22(),22,0,0(1AP)0,0,0(),1,22,0(),1,22,0(11OCB（1）),0,0,22(),1,2,0(1AOBC)1,22,0(1OB,,111OBBCAOBC11AOBBC平面………………（4分）（2）平面PAB有法向量),1,1,1(1n平面BB1C的法向量)0,0,1(2n31,cos21nn∴所求锐二面角为arcos33………………（8分）（3）131BCBG∴)31,62,0(G平面PAB有法向量),1,1,1(1n由)31,62,22(GA∴9363312||||11nnGAh………………（12分）20．解：（1）)(x的定义域为),0(…………12分222221)(xkxxxkxx…………2分82k①当0)(,2222,082xkk时即时…………3分②2222,082kkk或即时时28,280222212kkxkkxkxx有两个不等实根方程0)(,0,2221xxxk故则若…………4分;0)(,;0)(,00,2221121xxxxxxxxxk时当时当则若0)(,2xxx时当…………5分综上：),28()28,0()(,2222kkkkxk及的单调递增区间为时当单调递减区间为]28,28[22kkkk)(,22xk时当的单调递增区间（0，+）…………6分（2）1lnlnxxxaaaxxxex…………7分),[,1ln)(exxxxxh令…………8分则2)1(1ln)(xxxxh…………9分021ln1ln011)1ln(,eeexxxxxex时当0)(xh…………10分1)()(mineeehxh…………11分1eea…………12分另解：0ln)