高考数学直线方程训练2

直线方程一.教学内容：直线方程［知识点］1.直线方程两点式：方程推导：已知直线经过两点，，，求直线的lPxyPxyxxl11122212方程？解：kyyxx2121代入点斜式yykxx121yyyyxxxx121211·yyyyxxxx121121注意：（1）特殊情况：x＝x1或y＝y1不能用两点式表示，即与x轴平行或与x轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。（2）两点式变形形式：（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）此方程与平面上的直线一一对应。2.直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x轴交于A（0，a）与y轴交于B（b，0），其中（a≠0，b≠0）求直线l的方程。解用两点式：ybxaa000ybaxaxayb1（截距式）注意：（1）特殊情况：当a＝0或b＝0时不能用上式，即过原点或与x轴平行或与y轴平行的直线不能用截距式。（2）截距式是两点式的特殊情况。3.直线方程的一般式：方程形式：，、不同时为零。AxByCAB0适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。4.关于直线方程形式间的互化方法。【典型例题】例1.已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。解：设直线的截距式方程为：xayb1则有541125ababab52，或，ab524直线方程为或8520025100xyxy例2.如图，已知直线l经过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B。（1）求三角形AOB面积的最小值及此时直线l的方程。（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程。yBNP（3，2）OMAx解：（1）法一：设A（0，a），B（b，0）（a＞0，b＞0）则直线方程为xayb1以（，）代入得：Pab32321baa23故的面积AOBSabaaaaa1233639322aaaa39362393612·当，即，时，值最小。aaabSAOB39364此时方程为：xy641法二：由得：1322626abababab24故Sab1212当，即，时，32126412ababSmin...法三：SaaaSaS22330，∵a为实数，∴△≥0SS2120S12代入上式得：，ab64...法四：过P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN（M、N为垂足），并设θ＝∠PAM＝∠BPNSSSSOMPNPAMPBN612221233629262912cottancottan当，即时，2922312cottantanminS（2）法一：321ababababbaab3233223255232526baabbaab·当，即，时，323626526baababab()min法二：abOMMAONNB32235235223526cottancottancottan·当，即，即，时，23633626cottantanababmin526例3.已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4，求m，n的值。分析：（1）将直线方程化成截距式后（或直接）求出直线在两轴上的截距、解关于m，n的方程组。（2）由已知条件，直线经过点A（-3，0）、B（0，4），由此得m，n的方程组，解之即可。解法1：由截距意义知，直线经过A（-3，0）和B（0，4）两点，因此有mnmn3012004120解之得：，mn43解法2：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式，得：xmyn12121因此有123124mn解之得：，mn43例4.两条直线：和：相交于点（，），求经laxbylaxbyP1112223312过点，和，的直线的方程。AabBabAB1122解析：由，都经过点（，），得：llP1212abab11222323，即点，和，的坐标都适合方程AabBabxy112223故经过、的直线：ABlxy230例5.在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120xyPP距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1故点P的坐标为（x，3x＋1）由距离公式得：xxxx1322312222解之得：x＝0∴所求的点为P（0，1）解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为：xy101又3102xy解由1、2组成的方程组得：P（0，1）例6.已知直线：lkxykkR120()（1）证明直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。（2）求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。（3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。解：（1）直线l的方程是：kxy210令得：xyxy20021∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）（2）由l的方程，得：AkkBk120012，，，依题意得：120120kkk解得：k＞0SOAOBkkkkkkk121212121212124141222442····()“”成立的条件是且，即kkkk04112Smin4此时：lxy240（）由（）知：直线在轴上的截距为32x12kk在轴上的截距为y12k要使直线不经过第四象限，则必须有122121kkk解之得：k＞0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。例7.求直线关于点，对称的直线方程。236011xyA分析：利用所求直线上任意一点P关于点A的对称点P’在已知直线上的关系求解。解：设P（x，y）为所求直线上任一点，则：PAPxyxy关于（，）的对称点（，）在已知直线上11236000'236000xy∵线段PP’的中点为A（1，-1）121200xxyy，即，xxyy0022223260xy即2380xy故所求直线的方程为2380xy注意：本题是一个关于点对称的直线的求法问题，要注意利用点对称的特点求解。例8.一根弹簧挂6公斤的物体时，长11cm，挂9公斤的物体时，长17cm。已知弹簧长度l（cm）和所挂物体的重量w（公斤）的关系可以用直线方程来表示。用两点式表示这个方程，并根据这个方程，求弹簧长为13cm时所挂物体的重量。解：以Ow为横坐标轴，以Ol为纵坐标轴建立直角坐标系（如图所示）由题意知直线过点（6，11）和点（9，17）由直线的两点式方程得所求直线的方程为：lw111711696把代入，得：lw1313111711696∴w＝7即弹簧长为13cm时所挂物体的重量为7公斤。小结：因为弹簧长l和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示，并且弹簧挂6公斤的物体时，长11cm；弹簧挂9公斤的物体时，长17cm。所以直线过点（6，11）和（9，17）。由直线方程的两点式求出l、w关系，得解。例9.求直线的倾斜角。axbyc0解：当时，斜率不存在，倾斜角b02当时，方程可化为baxbycyabxcb00直线的斜率，即kababtan若，则，ababab00tanarctan若，则abab00tanarctanarctanabab小结：由直线方程的一般式求直线的倾斜角时，须先求其斜率，这时通常把直线方程化成斜截式（若直线没有斜率即y的系数为0，则直线的倾斜角为90°，此时直线方程没有斜截式），然后根据斜率再求直线的倾斜角。当直线的斜率k≥0时，直线的倾斜角为arctank；当直线的斜率k＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank。例10.已知点，在直线：的上方。PxylAxByCB1100()求证：AxByC110证明：如图所示，过P（x1，y1）作直线垂直于x轴，交直线l于M设M点的坐标为（x1，y2），则：AxByC120yABxCB21∵P在M的上方yyyABxCB1211，即两端同乘以，得：BByAxC11即AxByC110小结：如果，在直线的下方，则，即PxyyyyABxCB111211两端同乘以，得：BByAxC11AxByC110点P在直线的上方或下方就是指在同横坐标时，P的纵坐标大于或小于直线上的点对应的纵坐标。【模拟试题】1.直线axbyab10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A.12abB.12abC.12abD.12ab2.过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A.xy5B.xy5C.xy5或xy40D.xy5或xy403.已知直线AxByC0的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是（）A.A＞BB.A＜BC.CACB0D.CACB04.直线laxyblbxyaab12000：，：()的图象只可能是下图中的（）5.直线270xy在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是（）A.ab77，B.ab772，C.ab727，D.ab727，6.若直线l的倾斜角为arctan12且过点（1，0），则直线l的方程为________。7.由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点PP122103，、，；（2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3。8.设直线l的方程为mmxmmym222321620，根据下列条件分别确定实数m的值。（1）l在x轴上的截距是3；（2）斜率是1。9.过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当PAPB·取最小值时，求直线l的方程。10.已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。11.已知点P（-1，1）、Q（2，2），直线lykx：1与线段PQ相交，求实数k的范围。【试题答案】1.D解析：在方程axby1中令x0得yb1；令y0得xa1。∴直线axbyab10()与两坐标轴围成的三角形面积是：121112abab2.C解析：设过点A（4，1）的直线的方程为ykxk140()令x0，得yk14；令y0，得xk41。由已知得：1441kkk1或k14∴所求直线的方程为xy5或xy