高考数学函数的最值测试

专题考案(1)函数板块第4课函数的最值(时间：90分钟满分：100分)题型示例求函数f(x)=(4-3a)x2-2x+a在区间［0,1］上的最大值.解先讨论二次项系数4-3a,分三种情况：(1)当4-3a=0即a=34时，原函数为f(x)=-2x+34是减函数，在［0，1］上的最大值为f(0)=34=a；(2)当4-3a0,即a34时，抛物线开口向上，对称轴为x=a3410;①当对称轴位于区间［0,1］的中点，即a341=21,a=32时，最大值为f(0)=f(1)=2-2a;②当对称轴位于区间［0,1］中点的左侧，即0a34121,a32时，函数在［0,1］上的最大值为f(1)=2-2a;③当对称轴位于区间［0,1］中点的右侧时，即a34121,32a34时，最大值为f(0)=a;(3)当4-3a0即a34时，抛物线开口向下，对称轴为x=a3410,总在y轴左侧，所以函数在［0,1］上单调递减，最大值为f(0)=a.综上所述，当a≤32时，最大值为2-2a;当a32时，最大值为a.点评解决本题须根据需要逐层分类讨论，并将讨论的结果进行合并.一、选择题(8×4′＝32′)1．设实数x、y满足x+2y=1,x≤0，则x2+y2的最小值为()A.51B.55C.21D.412．已知x0,y0，且2x+5y=20，则lgx+lgy的最大值是()A.0B.1C.2D.53．设α、β是方程x2-2mx+3m-4=0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2()A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.既有最大值,又有最小值D.既无最大值，又无最小值4．函数f(x)=1)2(422xx的最小值是()A.13B.32C.2+5D.35．若f(x),g(x)都是奇函数，且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)有最大值8，则在(-∞,0)上，F(x)有()A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-46．如果0a1,0x≤y1,且(logax)·(logay)=1，那么xy()A.没有最大值也没有最小值B.没有最大值而有最小值C.有最大值而没有最小值D.有最大值也有最小值7．函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，那么实数a的取值范围是()A.0≤a≤1B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.-1≤a≤08．某县位于山区，农民居住区域大致呈右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB=60km,AE=CD=30km,为了解决当地人们看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形的顶点的距离的平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在()A.P1处B.P2处C.P3处D.P4处二、填空题(4×4′＝16′)9．若x2+y2-2y=0，则x2+4y的最大值是.10．x≥4,则函数y=x+x4的最小值为.11．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且每生产一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)=4Q-2001Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元，这时产品的生产数量为(总利润＝总收入－总成本).12．如果函数y=51log(x2-8x+17)的定义域为［2,5］,则该函数的最小值为.三、解答题(4×10′＝40′)13．证明：制作一个容积一定的圆柱形容器(有底有盖)以等边圆柱为用料最省.(不计加工损耗及接缝用料)14．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件:①对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y);②当x0时,f(x)0,且f(1)=-2.求函数f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.15．已知定义域为［0,1］的函数f(x)同时满足：对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥0，f(1)=1;若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；(2)求函数f()的最大值；(3)证明：①当x∈(21,1)时，有f(x)2x成立；②当x∈［0,21］时，有f(x)≤21f(2x)成立.16．如图所示，公园有一块边长为2a的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(1)设AD=x(x≥a),ED=y,求用x表示y的函数关系式.(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里?请予以证明.四、思考与讨论(12′)17．设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，且是偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=4-2(x-3)2．(1)求x∈［1,2］时f(x)的表达式；(2)若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求矩形ABCD的面积S的最大值．参考答案1．Dx+2y=1(x≤0)表示射线，∴x2+y2的最小值为02+(21)2=41.2．Blgx+lgy=lg(xy)，又xy=101(2x)·(5y)≤101·4)52(2yx=10，∴lg(xy)≤1，即［lg(xy)］max=1.3．A根据根与系数的关系建立关系式即得.4．A设M(x,0)是x轴上一点,A(0，2)，B(2,-1)，则1)2(422xx=|MA|+|MB|,当M、A、B三点共线时，f(x)min=133232.5．DF(x)-2=f(x)+g(x)是奇函数且在(0，+∞)上F(x)-2的最大值是8-2=6.于是F(x)-2在(-∞,0)上的最小值是-6,∴在(-∞,0)上，F(x)的最小值是-4.6．C∵0a1,0x≤y1,∴logax0,∴logay0，logax+logay≥2)(log)(logyxaa=2，即loga(xy)≥2,∵0a1,∴0xy≤a2,∴(xy)max=a2，xy没有最小值.7．Dy=-(x+a)2+a2，故0≤-a≤1,即-1≤a≤0.8．D设转播台建在AC上且与C相距xkm的P处，令AE=a，则AC=2a,依题意△ECD、△ABC均为等腰直角三角形，∴PC2=x2,PA2=(2a-x)2,PB2=(2a)2+x2,PD2=a2+x2-2axcos135°,PE2=a2+x2-2axcos45°,∴P到各顶点的距离的平方和d2=PC2+PA2+PB2+PD2+PE2=5x2-22ax+6a2=5(x-52a)2+528a2.∴当x=52a,即x=5AC,P与P4重合时，P到各顶点的距离的平方和d2最小，选D.9．8x2=2y-y2≥00≤y≤2,x2+4y=6y-y2=-(y-3)2+9，∵0≤y≤2,∴当y=2时，(x2+4y)max=8.10．5当x=4时,ymin=5.11．250;300L(Q)=4Q-2001Q2-(200+Q)=-2001(Q-300)2+250.12．-2y=51log(x2-8x+17)=51log［(x-4)2+1］.令y=51logu,u=(x-4)2+1(5≥u≥1),又y=51logu在［1,5］上为减函数，要求函数y=51logu的最小值.可转化为求u=(x-4)2+1的最大值，所以当u=5时，ymin=-2.13．证明设圆柱的高为h，底面半径为r,容积为V，则πr2h=V,即r2h=V.S全=2πr2+2πrh=2π(r2+2rh+2rh)≥2π·3222rhrhr=6π·3224V，当且仅当r2=2rh,r=2h，即此圆柱为等边圆柱时，用料最省.14．解设0≤x1≤x2≤3,则由条件①得f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)即f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)，∵x2x1,∴x2-x10由条件②得:f(x2-x1)0，∴f(x2)-f(x1)0即f(x1)f(x2)，∴f(x)在［0,3］上是减函数.又f(x)为奇函数,∴f(x)在［-3,0］上也是减函数.从而f(x)在［-3,3］上是减函数,∴f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(1+1)=-3f(1)=6f(x)min=f(3)=-f(-3)=-6.点评对于抽象函数，往往是通过研究函数的单调性求最值.15．(1)解令x1=x2=0,由条件得f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.又知f(0)≥0,∴f(0)=0.(2)解任取0≤x1x2≤1.∴x2-x1∈(0,1,∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)≥0,∴f(x2)≥f(x1).于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1,即函数f(x)的最大值为1.(3)证明①∵21x≤1,∴2≥2x1.又f(x)≤1,∴当x∈(21,1)时，f(x)2x.②当x∈［0,21］时，0≤2x≤1,∴f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),∴f(x)≤21f(2x).16．解(1)△ABC的边长为2a,D在AB上，则a≤x≤2a,∵S△ADE=21S△ABC，∴21x·AEsin60°=21·43·(2a)2.∴AE=xa22，在△ADE中，由余弦定理y2=x2+244xa-2x·xa22cos60°，∴y2=x2+244xa-2a2，∴y=224224axax(a≤x≤2a).(2)y=224224axax(a≤x≤2a).令x2=t，则a2≤t≤4a2,且y=2424atat.设f(t)=t+ta44，当t∈［a2,2a2］时，可证f(t)为减函数.当t∈［2a2,4a2］时，可证f(t)为增函数.又f(2a2)=4a2,f(4a2)=f(a2)=5a2，∴t=2a2时f(t)有最小值，即x=2a时，ymin=2a.此时DE∥BC;t=a2或4a2时，f(x)有最大值，即x=a或x=2a时，ymax=3a，此时DE为AB或AC边上的中线.17．解(1)当1≤x≤2时，-3≤x-4≤-2，2≤4-x≤3.∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-2(4-x-3)2=4-2(x-1)2．(2)当0≤x≤1时，2≤x+2≤3，∴f(x)=f(x+2)=4-2(x-1)2．∴0≤x≤2时，f(x)=4-2(x-1)2．设A(1-t,0),B(1+t,0)(0≤t≤1).∴|BC|=|AD|=f(1+t)=4-2t2．S=|AB|·|BC|=2t(4-2t2)=4t(2-t2).∴S2=16t2(2-t2)2≤8·32223222ttt=8×(34)3．∴S≤6916,等号成立时t=36.∴Smax=6916.