高考数学二模(文)

北京市朝阳区2006～2007学年度高三年级第二次统一考试数学试卷(文科)2007.5(考试时间120分钟,满分150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)不等式52xx0的解集是（）A.｛x|x5或x2｝B.｛x|2x5｝C.｛x|x5或x-2｝D.｛x|-2x5｝(2)与函数y=2x的图象关于y轴对称的函数图象是（）(3)已知直线a、b和平面、，∩=l，a，b，则a、b的位置关系可能是（）A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(4)把函数sin()3yx的图象向右平移6个单位，所得的图象对应的函数是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(5)二项式(x-1x)9的展开式中含x5的项的系数是()A．72B．-72C．36D．-36(6)某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有()得分评卷人111-1A．120种B．48种C．36种D．18种(7)设f(x)=x2+bx+c且f(0)=f(2)，则（）A．f(-2)cf(32)B．f(32)cf(-2)C．f(32)f(-2)cD．cf(32)f(-2)(8)已知圆F的方程是xyy2220，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D)，若||AB，||BC，||CD成等差数列，则的值为（）A．±arctan22B．4C．arctan22D．arctan22或π-arctan22朝阳区高三第二次统一考试数学试卷(文科)第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9)已知向量a=(4，3)，b=(x，-4)，且a⊥b，则x=.(10)由正数组成的等比数列{an}中，a1=31，a2·a4=9，则a5=，3S=.(11)若x，y满足约束条件0,26.yxxy≥≥≤1,则z=x+y的最大值为.(12)已知曲线C的参数方程是22cos,2sinxy(θ为参数)，则曲线C的普通方程是；曲线C被直线x-3y=0所截得的弦长是.(13)高三某班50名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图如右图，则该班得120分以上的同学共有人.二题91011121314二题总分三题151617181920ⅠⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅢ三题总分二卷总分得分评卷人(14)在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若AEAB=m，AFAC=n，则AEFABCSS=mn.拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若SDSA=m，SESB=SFSC=n，则SDEFSABCVV=.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本小题满分13分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcacb21222.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求2coscos22AA的值.得分评卷人ABCSDEFABCEF(16)（本小题满分13分）一个袋子里装有大小相同且标有数字1~5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个.(Ⅰ)从中任意取出1个小球,求取出的小球标有数字3的概率；(Ⅱ)从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；(Ⅲ)从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率.得分评卷人(17)（本小题满分13分）已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.(Ⅰ)求证：BC∥平面PAD；(Ⅱ)若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥BC；(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.得分评卷人PDABCEF(18)（本小题满分13分）已知函数cbxaxxxf23)(．(Ⅰ)若3,9ab，求()fx的单调区间；(Ⅱ)若函数()yfx的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b所满足的关系式.得分评卷人(19)（本小题满分14分）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A满足||3||AEEF，N为AF的中点，点M在线段AE上，0MNAF．（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；（Ⅱ）点0(,)2mPy在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且PFFQ，若≤≤134，求实数m的范围．得分评卷人(20)（本小题满分14分）在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．ija表示位于第i行第j列的数，其中2418a，421a，54516a．11a12a13a14a15a…ja1…21a22a23a24a25a…ja2…31a32a33a34a35a…ja3…41a42a43a44a45a…ja4………………………1ia2ia3ia4ia5ia…ija………………………（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求ija的计算公式；（Ⅲ）设数列｛bn｝满足bn=ann，｛bn｝的前n项和为nS，求nS.得分评卷人朝阳区高三第二次统一考试数学试卷答案(文科)2007.5一.选择题（1）B（2）A（3）D（4）B（5）C（6）C（7）B（8）D二.填空题（9）3（10）27，133（11）5（12）(x-2)2+y2=2，2（13）15（14）mn2三.解答题(15)解：（Ⅰ）∵bcacb21222，∴412222bcacb.……………………………………………………3分∴41cosA.…………………………………………………………5分(Ⅱ)∵2coscos22AA1cos2cos21212AA=2cos2A+12cosA-12，………………………………………………9分由（Ⅰ）知41cosA，代入上式得2coscos22AA=2(14)2+12×14-12=-14.…………………………………13分(16)解:袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.(Ⅰ)∵标有数字3的小球共有3个，∴取出标有数字3的小球的概率为13111531155CPC.……………………4分(Ⅱ)标有偶数数字的小球共有2+4=6个，取出的3个小球全标有偶数数字的概率为36315,CC………………………………6分∴任意取出3个小球中至少有1个标有奇数数字的概率为36231548711.9191CPC…………………………………8分(Ⅲ)2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），(2，4），（3，3）.…10分所求概率111121524321516.105CCCCCPC………………………13分(17)方法1：(Ⅰ)解：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD.因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.………………4分(Ⅱ)证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC.设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.所以BC⊥EG，BC⊥FG.…………………6分因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG.因为EF面EFG，所以EF⊥BC.…………………………8分(Ⅲ)设PA的中点为N，连结DN，NC，因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA.又△PAC中容易计算出PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA.所以∠CND是所求二面角的平面角.………10分依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD.因为DN面PAD，所以CD⊥DN.在Rt△CND中，容易计算出DN=22，NC=62.ABCDEPFNGPDABCEF于是cos∠CND=NDNC=33，即所求二面角的余弦值是33.………13分方法2：如图，以点D为原点O，有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.(Ⅰ)证明：因为CB=(1，0，0)，平面PAD的一个法向量为rPAD=(0，1，0)，由CB·rPAD=0，可得CB⊥rPAD.于是BC∥平面PAD.……………………………………………4分(Ⅱ)证明：EF=(0，-21，-21)，CB=(1，0，0)，因为EF·CB=0，所以EF⊥BC.…………………………………………………8分(Ⅲ)解：容易求出平面PAD的一个法向量为rPAD=(0，1，0)，及平面PAC的一个法向量为rPAC=(1，1，1)，因为rPAD·rPAC=1，|rPAD|=1，|rPAC|=3，所以cosrPAD，rPAC=113=33，即所求二面角的余弦值是33.…………………………………13分(18)解：(Ⅰ)若3,9ab，则bxaxxf23)(2=23693(1)(3)xxxx.…………2分令/()0fx，即3(1)(3)0xx.则1x或3x.∴()fx的单调增区间是(,1),(3,).……………………………6分PDABCEFxyzO令/()0fx，即3(1)(3)0xx.则13x.∴()fx的单调减区间是(1,3).……………………………………………8分(Ⅱ)bxaxxf23)(2,设切点为),(00yxP,则曲线)(xfy在点P处的切线的斜率baxxxfk020023)(.…10分由题意，知023)(0200baxxxf有解，∴24120ab≥即23ab≥.…………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）∵N为AF的中点，且0MNAF，∴MN垂直平分AF．…………………………………………1分又点M在线段AE上，∴||||||3||6AMMEAEEF．||||MAMF．∵||||236||MEMFEF，…………………………………………4分∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴3a，半焦距1c．………………………………………………………………5分∴2222318bac．∴点M的轨迹W的方程为22198xy.…………………………………7分（Ⅱ）设11(,)Qxy，∵0(,)2mPy，PFFQ，∴1011(1),2.mxyy∴1101(1),21.mxyy…………………9分由点P、Q均在椭圆W上，∴2202202211()1,9281(1)1.928myym………………………………11分消去0y并整理，得108m，∵≤≤134,∴310148m≤≤.解得2m≤≤4．…………………………………………………14分(20)解：（Ⅰ）设第4列公差为d，则542451116852316aad．………2分故445451116164aad，于是2444214aqa．由于0ija，所以0q，故12q．…………………………………4分（Ⅱ）在第4列中，424111(2)(2)81616iaaidii．………6分由于第i行成等比数列，且公比12q，所以，4441111622jjjijiaaqii．……………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得12nnnan．即bn=12nn．所以123nnSbbbb112233nnaaaa.即23111111123(1)22222nnnSnn