高考数学二轮复习解三角形考点透析

高考数学二轮复习解三角形考点透析【考点聚焦】考点1：正弦定理、余弦定理、勾股定理考点2：面积公式、内角和定理【考点小测】1.（全国卷Ⅰ）在ABC中，已知CBAsin2tan，给出以下四个论断：B①1cottanBA②2sinsin0BA③1cossin22BA④CBA222sincoscos其中正确的是（A）①③（B）②④（C）①④（D）②③2.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A、B满足tanA-A2sin1=tanB,则有（A）sin2A–cosB=0(B)sin2A+cosB=0(C)sin2A–sinB=0(D)sin2A+sinB=03.（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，]2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则当△OAB的面积达最大值时，（D）A．6B．4C．3D．24.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b=（）A．231B．31C．232D．325.（湖北卷）若ABCD的内角A满足2sin23A=，则sincosAA+=A.153B．153-C．53D．53-解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又25(sincos)1sin23AAA，故选A6.（福建卷）在△ABC中，∠C=90°，),3,2(AC),1,k(AB==则k的值是（D）A．5B．－5C．23D．237.（全国卷Ⅰ）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=1【典型考例】【问题1】三角形内角和定理的灵活运用例1．（2005湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.解法一由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0sincoscossincossinsinsinBABABABA即.0)cos(sinsinAAB因为),,0(B所以0sinB，从而.sincosAA由),,0(A知.4A从而43CB.由.0)43(2cossin02cossinBBCB得即.0cossin2sin.02sinsinBBBBB亦即由此得.125,3,21cosCBB所以,4A.125,3CB解法二：由).223sin(2cossin02cossinCCBCB得由B0、c，所以.22223CBCB或即.22232BCCB或由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0sincoscossincossinsinsinBABABABA即.0)cos(sinsinAAB因为0sinB，所以.sincosAA由.4),,0(AA知从而43CB，知B+2C=23不合要求.再由212BC，得.125,3CB所以,4A.125,3CB例2．[2007年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．已知锐角三角形ABC中，.51)sin(,53)sin(BABA（Ⅰ）求证：BAtan2tan；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.解：（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(BABA.2tantan51sincos,52cossin.51sincoscossin,53sincoscossinBABABABABABABA所以.tan2tanBA（Ⅱ）解：BA2，,43)tan(,53)sin(BABA即43tantan1tantanBABA，将BAtan2tan代入上式并整理得.01tan4tan22BB解得262tanB，舍去负值得262tanB，.62tan2tanBA设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tantanCDBCDACD由AB=3，得CD=2+6.所以AB边上的高等于2+6.【问题2】正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用例3：在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面积.解法一：21)45cos(22)45cos(2cossinAAAA，又0180A4560,10513tantan(4560)2313AAAsinsinsin()sincoscossinA105456045604560264SACABAABC1212232643426sin()例4．．（2007年湖北文分）在△ABC中，已知63,31cos,3tanACCB，求△ABC的面积.解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.21cos,23sin,60,3tanBBBB得由应用正弦定理得又,322cos1sin2CC8232263sinsinBCbc..3263332213123sincoscossin)sin(sinCBCBCBA故所求面积.3826sin21AbcSABC解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sinsinsinsin,sinsin.12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos222122222aaBbABbaBbAaACBaaaaaaBaccab故舍去而得由所得即故所求面积.3826sin21BacSABC例5．（2005年湖北理）在△ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求sinA的值.解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=,,36221xBEAB设在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，,6636223852xx),(37,1舍去解得xx,328cos2,2222BBCABBCABACBC从而故.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法2：以B为坐标原点，xBC为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin364,cos364(,630sin22舍去从而由条件得则设则由xxxBDxBDxBCBBBAB),354,32(CA故.1470cos1sin,141439809498091698098||||cos2AACABACABAA于是解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=,354,34AH.1470sin,6303212sin2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得而【问题3】向量与解三角形例6．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值.21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题）本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:ACAQABAPCQBPACAQCQABAPBPAQAPACABACAB解法一.cos2121)(222222aaBCPQaBCPQaACABAPaAPABACAPaACABAQABACAPAQAP.0.,)(0,1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos.cos.cos.||||cos2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQaaCQBPabycxabycxBCPQBCPQ课后训练：1．（2006全国）在2545,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC(2)若点DAB是的中点，求中线CD的长度。2．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？[解]北2010AB••CCABÐ0解：由题意可得＝12022022BC=ACAB2ACABcos120=10201020=107+-?++?………….5分0001072021=sin(30)=sin120sin(30)7aa\--…8分028cos(30)=7a-……………………………………………………………………11分000000cos=cos[(-30)+30]=cos(-30)cos30sin(-30)sin3028321121==727214aaaa-??………………14分3．已知ABC中,,,abc分别是角,,ABC的对边,且4,5abc,tantanAB=3(1tantan)AB,求角A.