高二数学下学期期中考试试卷

NMEFDCBA高二数学下学期期中考试试卷高二数学(Ⅰ)考生注意:1.请把选择题、填空题的答案写在第二卷对应栏中,第一卷不交。2.满分150分.考试用时120分钟。一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号在答题卡中涂黑．）1.棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线A1M与C1N所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°2.已知),1,(),5,2,3(xxba，且4ba，则xA.1B.2C.-1D.-23.与则所成的角为与直线直线所成的角为与平面直线2121,3,6LLLL平面α所成角的取值范围是]2,3D.[]3C.[0,]2B.[0,)2,0.(A4.设O、A、B、C是不共面的四点，对于空间一点P，使四点P、A、B、C共面的条件是R)zy,x,OCzOByOAOPB.R)zy,x,OCzOByOAxOP.A（（OC21OB41OA41OPD.OC21OB21OAOP.C5.已知平面与所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与,所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有A.1条B.2条C.3条D.4条6.下列命题中：①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面；②两条平行线中的一条与平面平行，则另一条也和这个平面平行；③一条直线平行于一个平面，则夹在它们之间的平行线段长相等；④平行于同一个平面的两条直线互相平行；其中正确的是A.③B.①②③C.③④D.②③④7.如图所示，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①ADMN；②//MN面CDE；③//MNCE；④MN、CE是异面直线；以上四个命题中正确的个数是A.1B.2C.3D.48.在正四面体ABCD中，E为AB中点，F为△BCD的中心，则EF与BC所成的角为.A.30°B.45°C.60°D.90°9.正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角后不．会成立的结论是A.AC⊥BDB.△ADC为等边三角形C.AB、CD所成角为60°D.AB与平面BCD所成角为60°10.用四种不同颜色给正方体ABCD—A1B1C1D1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，则共有涂色方法A.24种B.72种C.96种D.48种第Ⅱ卷（非选择题共5道填空题6道解答题）二.简答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的横线上）11.锥体体积V可以由底面积S与高h求得：ShV31.已知正三棱锥P—ABC底面边长为23，体积为43，则底面三角形ABC的中心O到侧面PAB的距离为.12.用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为。13.(文)地球北纬45o圈上有A,B两地，点A在东经130o处，点B在西经140o处，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上劣弧长与A、B两点的球面距离之比是_________(理)若定义运算cabcaddb，则符合条件2iz1i24的复数z为。14.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两成60°角，则OA与平面OBC所成的角的大小为_______15.已知平面,和直线，给出条件：①//m；②m；③m；④；⑤//.（i）当满足条件时，有//m；（ii）当满足条件时，有m.（填所选条件的序号）高二数学(Ⅱ)请把选择题中你认为正确答案代号在答题卡中涂黑请把填空题的答案填在下面空中11________________12._____________13.(文)__________(理)__________14.________________15.______________总分栏一二161718192021总分三.解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）如图，在正方体'AC中，E是DA'的中点，F是正方形ABCD的中心，求ED'与'FC的夹角。1【A】【B】【C】【D】2【A】【B】【C】【D】3【A】【B】【C】【D】4【A】【B】【C】【D】5【A】【B】【C】【D】9【A】【B】【C】【D】8【A】【B】【C】【D】7【A】【B】【C】【D】6【A】【B】【C】【D】10【A】【B】【C】【D】17.（本小题满分12分）求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直.已知：求证：证明：18.（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面相互垂直，且边长为a，M、N、P分别是BD、CE、AF的中点.(1)判断四边形ABFE的形状并证明；(2)求异面直线BD和CP所成的角；(3)判断△MNP的形状并证明.19.（本小题满分12分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）,(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；(文科只要求写出表达式,不用求最值,理科请注意公式33abccba)(2)由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.x图（a）图（b）20.（本小题满分13分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，(1)求证：CD⊥PD(2)求证：EF∥平面PAD(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD.21.（本小题满分14分）如图,异面直线AC与BD的公垂线段AB=4,又AC=2,BD=3,CD=42.⑴求二面角C—AB—D的大小；⑵求点C到平面ABD的距离；⑶求异面直线AB与CD间的距离。ABDC武昌区07－08年度下学期期中考试参考答案（仅供参考）12345678910DCBDDACCDC8.取AC中点G，则EG∥BC且EG=BC21，则∠GEF为EF与BC所成角，连结BF，CF，则FE.FG分别为Rt△ABFRt△ACF的斜边上的中线，∴ABFGFE21，∴△EFG为正△，∴选C。二.简答题答案:11.937212.4213.(文)23︰4(理)i2214.33arccos15.③⑤；②⑤三.解答题答案:16.分别以DA,DC,DD’所在的直线为x,y,z轴建立右手坐标系，设正方体棱长为1，则)2,2,0('),0,1,1(),1,0,1(),2,0,0('CFED，3''),2,1,1('),1,0,1('FCEDFCED，6',2'FCED，23623','cosFCED，夹角为15017.已知：α∩β=m，l⊥β，l∥α.求证：α⊥β.证明：在α内任取一点P，∵l∥α，∴Pl.设l和点P确定的平面为γ.设γ∩α=l′，则l∥l′l⊥βl′⊥βα⊥β.l∥l′l′α18.（1）由AB平行且等于CD，CD平行且等于EF，有AB平行且等于EF，从而四边形ABFE是平行四边形∵平面AC⊥平面DF，AD⊥CD，∴AD⊥平面DF，AD⊥EF又EF⊥DE，∴EF⊥平面ADE∴EF⊥AE∴平行四边形ABFE是矩形且不是正方形（2）如图，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），D（a，0，0），B（0，0，a），P（2a，2a，2a）,ABCDEFPNMzyx则BD=（a,0,-a），CP=（2a,2a,2a）∵BD·CP=22a+0-22a=0∴BD⊥CP，即BD与CP所成的角是90°（3）由P（2a，2a，2a），N（2a，2a，0），M（2a，0，2a），得PM=（0，-2a，0），PN=（0，0，-2a）∵PM·PN=0，∴PM⊥PN又|PM|=|PN|,所以△MNP是等腰直角三角形.另解提示:用非向量的方法解(2)与(3)时,可行先连结BE与DF,再进行推理与运算.19.(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为x24,高为x,所以)20(,)24(21xxxV,因为x(4-2x)(4-2x)=414x(4-2x)(4-2x)≤413)324244(xxx∴当且仅当x=32时,1V取最大值27128.(2)重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积2V=3×2×1=6，显然2V1V，故第二种方案符合要求.31143图①图②图③4图④图⑤另外，还可以如图④3V=2×4×32=3161V还可以如图⑤4V=38×38×65=271601V.20.(1)证明：∵ABCD是矩形CD⊥ADPA⊥平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影,由三垂线定理：CD⊥PD(2)证明：取CD中点N，连结EN、FNE、F分别是AB、PC的中点∴FN∥PD,EN∥AD.FN平面PAD，EN平面PADFN∥平面PAD，EN∥平面PAD,FN∩EN=NEFN∥平面PAD∵EF平面EFN，EF∥平面PAD(3)当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥平面PCD∵AB∥CDCD⊥AD,PD⊥CD,即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角.连结PE，ECPDA=45°PA=AD=BC,AE=EBRt△PAE≌Rt△CBE∴PE=EC,∵F为PC的中点EF⊥PC，又FN∥PD,EN∥ADCD⊥FN,∴CD⊥EN∴CD⊥平面EFNCD⊥EFCD∩PC=C,∴EF⊥平面PCD21.⑴过A作AE∥BD，过D在作DE⊥AE，垂足为E，AB⊥BD∴AB⊥AE又AB⊥AC∴∠CAE为二面角C－AB－D的平面角，这时AB⊥平面ACE，于是DE⊥平面ACE,连CE在Rt△CDE中，CD=42，DE=AB=4，∴CE=4，在△ACE中，AE=BD=3，AC=2，由余弦定理得.41arccos,412321694cosCAECAE即二面角C—AB—D的大小为.41arccos；⑵由⑴可知415sinCAE，过C在平面ACE内作CH⊥AE，垂足为H，∵AB⊥平面ACE，∴平面ABD⊥平面ACE，∴CH⊥平面ABD，则CH为C到平面ABD的距离，2152154152sin的距离为到平面即ABDCCAEACCH；⑶∴AB∥DE，∴AB与平面CDE的距离即AB与CD的距离，在平面ACE内作AN⊥CE，垂足为N，DE⊥平面ACE。∴平面CDE⊥平面ACE，于是AN⊥平面CDE。则AN为AB与平面CDE的距离。在△ACE中可得AN=81534215332sinCECAEAEAC，即AB与CD的距离为3158。