高二数学下第九章复习讲义

高二数学下第九章复习讲义第1讲平面的基本性质一、典型例题例1、用符号语言写出下列图形应满足的条件图（1）图（2）分析；根据图形，准确地想象点、线、面这些基本元素的关系，然后用集合的符号语言表示出来。书写的规律一般是：先平面再直线，最后为点。在（1）中：平面α∩平面β=，a∩α=A，b∩α=B在（2）中：α∩β=，aα，bβ，a∩=P,b∩=P，c∥。例2、作出满足下列条件的图形：图（1）图（2）（1）α∩β=AB，aα，bβ，a∥AB，b∩AB=M；（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1C∩平面C1BD=M，求作点M。分析：（1）作图的顺序与读图的顺序相同，先平面再直线再到点。如图（1）（2）设法把点M放到某两个平面的交线上，∵M∈A1C，A1C平面AA1C1C（由AA1∥C1C，A1A，CC1是可以确定一个平面的），∴M∈平面AA1C1C。又M∈平面C1BD，∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点。观察图象可知，C1、O也为上述两个平面的公共点，即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O。∵M∈C1O，又M∈A1C，∴C1O∩A1C=M，即平面AA1C1C1内，两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M。评注：题（2）首先体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。其次，将直线A1C放在平面AA1C1C内思考，这是处理直线典型的一种思考方法。借助于平面AA1C1C，点M的位置就越来越具体了。这种类似于平面几何辅助直线的平面，称之为辅助平面。在研究空间图形时，经常要作这样的辅助平面。进一步研究M点性质，还可发现M为A1C的三等分点，M是△C1BD的重心（中心）。例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面。分析：以文字语言出现的几何证明题，首先要“翻译”为符号语言写成已知、求证的形式，并辅之以正确的图形，然后再进行证明。已知：四条直线a，b，c，d两两相交，不过同一点。求证：a，b，c，d共面。在正确分析四条直线位置关系时，可利用逐步添加的方法。当在两条直线上添加第三条直线时，可以发现存在下列两种位置关系；三线共点和三线不共点。因此本题需分两种情况证明：（1）当存在三线共点时，如右图：设a，b，c共点于Q，d∩a=M，d∩b=N，d∩c=Q∵a∩b=P∴a，b可确定平面α∵M∈a，N∈b∴M∈α，N∈α∵M∈d，N∈d∴dα∴Q∈α又P∈c，Q∈c∴cα∴a，b，c，d共面于α。（2）任何三条直线都不共点时∵a，b，c，d两两不相交且不过同一点∴a，b，c，d可确定平面α设d∩a=N，d∩b=M则M∈α，N∈α又N∈d，M∈d∴dα∴a，b，c，d共面于α。评注：在证明几何问题，一忌用直观代替严谨的逻辑证明，如直接看图得出结论。因为直观图仅仅是直观，是对空间真实位置关系的某种“歪曲”反映，看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步，在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导。三忌程序混乱，不知道应该先说什么，再说什么。当然，还有符号、语言的准确性等等。二、同步练习（一）选择题1、空间四点中“三点共线”是“四点共面”的A、充分不必要B、必要不充分C、充分且必要D、既不充分也不必要2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：（1）三条直线两两相交；（2）三条直线两两平行；（3）三条直线共点；（4）三条直线有两条平行。其中不正确的个数是A、1个B、2个C、3个D、4个3、直线a，b，c交于一点，经过这三条直线的平面A、1个B、3个C、无数个D、可以为0个，可以为1个4、三个平面最多可以把空间分成A、4个部分B、6个部分C、7个部分D、8个部分5、已知α∩β=，M∈α，N∈α，P∈β，P，MN∩=R，记过M、N、P三点的平面γ，则β∩γ等于A、直线MPB、直线PRC、直线NPD、直线MR6、空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下面结论成立的是A、四点中必有三点共线B、四点中必有三点不共线C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行D、AB与CD必相交7、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，过点A、B1、D1三点的平面与平面A1B1C1D1相交于直线，则点A到直线的距离为A、62B、33C、34D、64（二）填空题8、不共面的四点可以确定________个平面。9、一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有________个公共点。10、如图，平面ABC和平面DEF的交点有________个。11、P为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱B1C1上的点（异于B1、C1），则直线A1P必与棱______所在直线相交。12、如图为水平放置的△ABC的直观图，由图判定原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺序__________。13、空间三个平面的交线条数为k，则k的可能值是__________。14、α∩β=BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、DB上的点，若EF∩GH=P，则点P必在直线________上。15、空间三条直线a，b，c互相平行，但不共面，它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个部分。（三）解答题16、空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB的中点，G、H分别是CD和AD上的点，且31DADHDCDG，求证：EF、FG、BD三条直线交于一点。17、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线。（1）画出直线；（2）设∩A1B1=P，求线段PB1的长。18、画出满足条件的图形：α∩β=，ABα，CDβ，AB∥，CD∥。19、如图，△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，求证：P、Q、R三点共线。20、已知直线a∥b∥c，∩a=A，∩a=A，∩b=B，∩c=C，求证：a，b，c，四线共面。该命题可作怎样的推广？第2讲空间的平行直线和异面直线一、典型例题例1、如图，已知a，b，c不共面，它们相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，求证BD和AC是异面直线。分析：法一：直接利用判定定理∵AC平面PAC，D∈平面PAC，DAC，B平面PAC∴AC与BD是异面直线法二：用反证法假设AC与BD共面于β∵A、D、C三点不共线①∴β与平面ACD重合∴aβ∴P∈β∵P、B、C三点不共线∴β与平面PBC重合②由①②知平面PAC与平面PBC重合∴a，b，c共面，与已知矛盾∴AC与BD异面说明：在法一中，选平面PAC为基本面，也可以选平面PBD为基本面，总之，要习惯把直线放在平面内。例2、空间四边形PABC，连对角线AC、PB，D、E分别是△PAB和△PBC的重心，求证：DE31//AC。分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯，即把点放在线上，把线放在面内。如把点D放在AB边的中线AM上，再把PM、DE放在平面PEM内，延长PE交BC于N，连MN，则N为BC中点，平面PEM即为平面PMN。△PMN中32PNPEPMPD∵DE32//MN∴△ABC中∵MN21//AC∴DE31//AC例3、空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。最后注意到，PM与QN也是异面直线。∴图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线评注：对于复杂图形，通常用分解等手段转化为基本图形。同时学会从运动的角度观察图形，如本题的逐步添加法。例4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。分析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF—D1C1E1F1。具体作法是：延长A1D1，使A1D1=D1F1，延长B1C1至E1，使B1C1=C1E1，连E1F1，分别过E1、F1，作E1E//C1C，F1F//D1D，连EF，则长方体C1D1F1E—CDFE为所作长方体。∵BC//D1F1∴BD1//CF1∴∠B1CF1就是异面直线BD1与B1C所成的角。∵BD2=a2+b2∴Rt△BDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2∴CF12=BD12=a2+b2+c2∵B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2∴△B1CF1中cos∠B1CF1=2222222112112121cbcbabcCBCF2FBCBCF（1）当cb时，cos∠B1CF10∴∠B1CF1为锐角，∠B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（2）当cb时，cos∠B1CF10∴∠B1CF1是钝角∴π-∠B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（3）当c=b时，∠B1CF1=900∴BD1⊥B1C法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。如图，分别取BC、BB1、B1D1的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ则MP∥B1C，MQ∥BD1∴∠PMQ（或其补角）就是异面直线BD1与B1C所成的角△PMQ中，MP=21B1C=22cb21△MQ21BD1=222cba21，PQ=4ac22利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果注：本题解法一称为补形法，在本题上，还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体，同学们可以亲自试一试。解法二称为中位线法。在求异面直线所成角的四步骤中，第一步其实就是平移异面直线，使它们相交，第三步计算的过程主要是解三角形的问题。在写结论时应注意解法一的结论。二、同步练习（一）选择题1、异面直线a与b满足aα，bβαβ，α∩β=，则直线与a、b的位置关系是A、与a、b都相交B、至少与a、b中的一条相交C、至多与a、b中的一条相交D、至少a、b中的一条平行2、平面α与β相交，aα，bβ，则在“①a、b必为异面直线，②a、b必互相平行，③a、b必为相交直线”这三个命题中，不正确的个数是A、0个B、1个C、2个D、3个3、异面直线指的是A、没有公共点的两条直线B、分别位于两个不同平面内的两条直线C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D、不同在任何一个平面内的两条直线4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是A、不平行的直线B、不相交的直线C、相交直线或平行直线D、既不相交也不平行5、给出四个命题①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②四边相等的四边形是菱形③四边相等且四个角也相等的四边形是正方形④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形其中正确命题的个数是A、1个B、2个C、3个D、4个6、正方体ABCD—E’F’G’H’中，面对角线FG’与EG所成的角等于A、450B、600C、900D、12007、OA∥O’A’，OB∥O’B’是∠AOB=∠A’O’B’的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分又不必要条件8、正方体ABCD—A1B1C1D1的表面对角线中，与AD1成600角的有A、4条B、6条C、8条D、10条9、正方体ABCD—A1B1C1D1中，设AB中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的A、300B、450C、600D、90010、给出三个命题①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行②若