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高中学生学科素质训练高二数学同步测试—简单几何体(4)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等,则该棱锥一定不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥2.一个棱柱是正四棱柱的条件是()A.底面是正方形,有两个侧面是矩形B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱3.如图,棱锥P-ABCD的高PO=3,截面积A’B’C’D’平行于底面ABCD,PO与截面交于O’,且OO’=2。如果四边形ABCD的面积为36,则四边形A’B’C’D’的面积为()A.12B.16C.4D.84.一个凸多面体的面数为8,各面多边形的内角总和为16π,则它的棱数为()A.24B.22C.18D.165.在棱长为1的正方体AC1中,对角线AC1在六个面上的射影长度总和是()A.36B.26C.6D.636.若一个四面体由长度为1,2,3的三种棱所构成,则这样的四面体的个数是()A.2B.4C.6D.8PABCDOA'B'C'D'O'7.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()A.33aB.43aC.63aD.123a8.已知一个简单多面体的每个面均为五边形,且它共有30条棱,则此多面体的面数F和顶点数V分别等于()A.F=6,V=26B.F=8,V=24C.F=12,V=20D.F=20,V=129.有一空容器,由悬在它上方的一根水管均匀地注水,直至把容器注满。在注水过程中水面的高度曲线如右图所示,其中PQ为一线段,则与此图相对应的容器的形状是()A.B.C.D.10.一个水平放置的圆柱形贮油桶,桶内有油部分占底面一头的圆周长的41,则油桶直立时,油的高度与桶的高之比是()A.41B.2141C.81D.218111.平行六面体ABCD-A´B´C´D´的六个面都是菱形,那么顶点B在平面ACB´上的射影一定是⊿ACB´的A.重心B.外心C.内心D.垂心12.棱长为a的正四面体中,高为H,斜高为h,相对棱间的距离为d,则a.H.h.d的大小关系正确的是()A.dhHaB.dHhaC.HdhaD.Hhda二、填空题:本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13.正方体1111DCBAABCD中,棱长为a,E是1AA的中点,在对角面DDBB11上取一点M,使AM+ME最小,其最小值为.14.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,这样的三棱锥体积为(写出一个可能值).空x(时间)PQ满y(水量)O15.在正四棱锥P—ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60°,则异面直线PA与BC所成角的大小等于.(结果用反三角函数值表示)16.如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____________时,有A1B⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)三、解答题:本大题满分74分.17.(10分)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213,试求第三条侧棱长的取值范围.18.(12分)今年庄稼丰收,这些粮食往哪儿放呢?东东爹想了个好办法:拿一块长方形木板,借助两面墙,在偏屋的墙角处围一个直三棱柱的谷仓。而木板可以立着放,可以横着放,怎样放装粮食多呢?19.(12分)长方体的底面积是4,对角线长是4,求长方体侧面积的最大值B1C1A1D1BACDABCD20.(12分)已知简单多面体的顶点数.面数.数分别为V.F.E.多面体的各面为正x边形,过同一顶点的面数为y.求证:.21111Eyx21.(14分)如图,正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,AB=a.(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;(Ⅱ)求点D到平面ACC1的距离;(Ⅲ)判断A1B与平面ADC的位置关系,并证明你的结论22.(14分)如图,在三棱锥ABC—S中,SA平面ABC,1ACAB,2SA,D为BC的中点.(1)判断AD与SB能否垂直,并说明理由;(2)若三棱锥ABC—S的体积为63,且BAC为钝角,求二面角ABC——S的平面角的正切值;(3)在(Ⅱ)的条件下,求点A到平面SBC的距离.(四)一、选择题:(每小题5分,共60分)1.D2.C3.C4.D5.B6.A7.C8.C9.C10.B11.B12.B6.满足条件的四面体只有如下两种情形:7.解:该内接正八面体的棱长为a22,它的体积为.23612122231aaa选C10.设圆柱的底面半径为R,高为h,油桶直立时油面的高度为x,则.,21412221241RxxRhRR选B.11.解:∵BA=BC=BB´,∴B在平面ACB´上的射影到三个顶点的距离也相等,即射影为⊿ACB´的外心。答案:B。12.易得.,,618226272362436aadaahaaH∴dHha.选B.二、填空题:本大题满分16分,每小题4分13.a2314.24215.552arcsin55arccos或16.AC⊥BD,或AB=AD且BC=DC13.解:321323312322A1ABB1D1C1CDO1OEM,,,11BBBBDBBACBDAC.11DDBBAC面设AC∩BD=O,则AO=CO.∴平面DDBB11是线段AC的垂直平分面,∴C是A关于平面DDBB11的对称点。连CE交面DDBB11于M,则M就是要求的点,这时AM+ME最小。又AM=CM,∴AM+ME的最小值就是CE的长,而2412222aaAEACCE=a23,∴AM+ME的最小值为a23.三、解答题:本大题满分74分.17.解:如图,四面体ABCD中,AB=BC=CA=1(2分),DA=DC=213(4分),只有棱DB的长x是可变的.在三角形ACD中,M为AC的中点,MD=32121322.MB=23(6分).由MF-MBBDMD+MB(8分),(MF=MD)得:.23323BD(10分)18.解:用直尺测出木板的长为a,宽为b,知道ab0,又知道两墙面所成二面角为(2分).设b作底边,a作直三棱柱的侧棱,底面另两边为x,y,则,cos2,sin22221xyyxbaxyV(4分),2.sincos4222sin2xybyxxyaVaV(6分),cot,2241sin4sincos42abVbaVaV得(8分)则当x=y时,.cot2241maxabV(10分)同理,若a作底边,有,cot2241baV当x=y时,.cot2241maxbaV,,22abbaba∴.cot2241maxbaVABCDFM所以把长边放在底面,短边作侧棱,且围成底面是等腰三角形时,容积最大。(12分)19.解:设长方体的底面长,宽分别为x,y,高为z.(2分)则)2......(4),1.......(42222zyxxy由:(1)、(2),得222)x4x(24x16x16z。(4分)∵,4x4x∴]22,0(z,22z即.(6分)∵)z24(z2z24z2z)yx(2S222侧.(8分)将22222z24)z()z24(z的二次函数视为2z的二次函数,它的增区间是[0,12].(10分)由于]22,0(z,故当时8z2,)z24(z22取最大值128.∴侧S的最大值为216.(12分)20.(12分)证明:由题设,有xFyVxFEEFV22222222ExEyEEyVxEFEFV,由此得到所证等式.21.(14分).(Ⅰ)证法一:∵点D是正△ABC中BC边的中点,∴AD⊥BC,又A1A⊥底面ABC,∴A1D⊥BC,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1.证法二:连结A1C1,则A1C=A1B.∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点,∴A1D⊥BC,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1.(4分)(Ⅱ)解法一:作DE⊥AC于E,∵平面ACC1⊥平面ABC,∴DE⊥平面ACC1于E,即DE的长为点D到平面ACC1的距离.在Rt△ADC中,AC=2CD=.23,aADa∴所求的距离.43aACADCDDE(9分)解法二:设点D到平面ACC1的距离为x,∵体积111ACCDACDCVV.21318331112xCCaCCa,43ax即点D到平面ACC1的距离为a43.(9分)(Ⅲ)答:直线A1B//平面ADC1,证明如下:证法一:如图1,连结A1C交AC1于F,则F为A1C的中点,∵D是BC的中点,∴DF∥A1B,又DF平面ADC1,A1B平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.(14分)证法二:如图2,取C1B1的中点D1,则AD∥A1D1,C1D∥D1B,∴AD∥平面A1D1B,且C1D∥平面A1D1B,∴平面ADC1∥平面A1D1B,∵A1B平面A1D1B,∴A1B∥平面ADC1.(14分)22.解:(1)因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直,否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾,所以AD与SB不垂直;(4分)(2)设BAC,则632121312sinV解得23sin,所以060(舍),0120.SA平面ABC,AB=AC,D为BC的中点BCSDBCAD,,则SDA是二面角S—BC—A的平面角.在SDARt中,4ADSASDAtan,故二面角的正切值为4;(9分)(3)由(2)知,BC平面SDA,所以平面SBC平面SDA,过点A作AESD,则AE平面SBC,于是点A到平面SBC的距离为AE,从而17172SDAADAEsin即A到平面SBC的距离为17172.(14分)
本文标题:高二数学同步测试—简单几何体(4)
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