高二年级数学第二学期期中考试

高二年级数学第二学期期中考试数学试卷（理）总分：150分时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．13()ii的虚部为()A．8iB．8iC．8D．82．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）．A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．22)cos(sindxxx的值为（）A．0B．4C．2D．44．函数xxxxf23)(的单调减区间是A．（)31,B.),1(C．（)31,，),1(D.)1,31(5．直线32xy与抛物线2xy所围成的图形面积是（）A．20B．328C．332D．3436．若函数)(xf在R上是一个可导函数，则0)(xf在R上恒成立是)(xf在区间),(内递增的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数()yfx的图象如图所示，则导函数()yfx的图象可能是8．已知12121zzzz,则12zz等于()A．1B．2C．3D．23xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)()fx()fx()fx()fx9．f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足()()xfxfx，对任意的正数a﹑b，若a＜b，则必有（）A．af(a)≤bf(b)B．af(a)≥bf(b)C．af(b)≤bf(a)D．af(b)≥bf(a)10．设fx是定义在正整数集上的函数，且fx满足：“当2fkk成立时，总可推出211fkk成立”，那么，下列命题总成立的是A．若24f成立，则当1k时，均有2fkk成立B．若416f成立，则当4k时，均有2fkk成立C．若636f成立，则当7k时，均有2fkk成立D．若750f成立，则当7k时，均有2fkk成立11．)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，0)()()()(xgxfxgxf且0)()(,0)2(xgxff则不等式的解集为（）A．（－2，0）∪（2，+∞）B．（－2，0）∪（0，2）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）YCYD．（－∞，－2）∪（0，2）数学试卷（理）第Ⅱ卷（非选择题共95分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置上)12.若是锐角ABC的一个内角，且21cos2xdx，则=。13.Q是曲线C：f(x)=ex上的动点，当Q无限趋近于点P（0，1）时，割线PQ的斜率无限接近于一个常数是___________14．)(131211)(Nnnnf，经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(fffff，推测当2n时，有_______．15．由图（1）有面积关系：PABPABSPAPBSPAPB，则由图（2）有体积关系：PABCPABCVV＝．三、解答题（本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．17．已知函数xxaaxxfln2)()0(a，若函数)(xf在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；18．（本题14分）记z的共轭复数为z，是否存在复数z使等式iiziziz255112）（）（成立.若存在，求出满足要求的z；若不存在，请说明理由.19．观察以下各等式：2020003sin30cos60sin30cos6042020003sin20cos50sin20cos5042020003sin15cos45sin15cos454，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．BAPB’A’图1BAPB’A’CC’图220、如图,一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线方程.（2）现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？2220,1()ln1212()()1()201xgxxxhxgxgxaxx21.已知函数f(x)=x-在上单调递减，在，上单调递增。（）求的值；（）求f(x)的最小值；（3）当a-1时，若在，上恒成立，求a的取值范围。CDEFOABMN参考答案一．DBCDCADCCDA二．12.613._114.22)2(nfn15.PCPBPAPCPBPA'''三．16．（12分）解：首先求出函数xxxy223的零点：11x，02x，23x.又易判断出在)0,1(内，图形在x轴下方，在)2,0(内，图形在x轴上方，所以所求面积为dxxxxA0123)2(dxxxx2023)2(123717．（13分）解：xxaaxf2)(2要使函数)(xf在定义域),0(内为单调函数，则在),0(内)(xf恒大于0或恒小于0，当02)(0xxfa时，在),0(内恒成立；当时，0a要使01)11()(2aaaxaxf恒成立，则01aa，解得1a所以a的取值范围为1a或0a18．（13分）证明：555(1)(2)132(2)(2)iiiiiii………………2分设存在),(Rbabiaz满足要求，则biaz………………3分2(1)(1)ziziz22()(1)()(1)()iabiiabiabibaba)(2)(22…………………………7分∴原方程化为：iibaba31)(2)(22∴221223abab…………………………10①045322aa…………12分01452432＜）（∴方程①无解……………………………………13分从而原方程在复数范围内无解．………………14分19．（14分）猜想：43)30cos(sin)30(cossin22证明：00022001cos21cos(602)sin(302)sin30sincos(30)sincos(30)22200cos(602)cos2111[sin(302)]2220002sin(302)sin30111[sin(302)]222003113sin(302)sin(302)422420.（14分）（1）解：如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，则F（2，3），设抛物线的方程是)0(22ppyx因为点F在抛物线上，所以32,3222pp，所以抛物线的方程是yx342……………………6分(2)解：等腰梯形ABCD中,AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，Nxy23，设),(00yxN，)0(0x，则抛物线在N处的切线方程是)(23000xxxyy，所以)3,24(),0,21(0200xxCxB，……………………8分梯形ABCD的面积是,262)2(3)42(233)4(21min000000200SxxxxxxxxS时，当且仅当……………………12分答：梯形ABCD的下底AB=2米时，所挖的土最少.14分DEFCMNABxyO''''221.(1)()100()01222.22122ln22,()21.()01,11221,12fxxxxxxhxxhxxxxyaxxaa2在（，1）上恒成立得2；同理g在，上恒成立得所以＝；（）h(x)=x令＝得列表易知h(x)在x=1处取最小值0；（3）g(x)在0，1上单调递减，其最小值为，令易证它在区间0，1上单调递增，其最大值为所以1,1,11.aa又故－