北京市东城区综合练习(二)(理)

2006—2007学年度北京市东城区综合练习（二）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．在复平面内，复数ii1对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若集合}4,2{},,3{2BaA，则“2a”是“}4{BA”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数aafxxxxxf)(.0,1,0,132)(若，则实数a的取值范围是（）A．)3,(B．)1,(C．),1(D．（0，1）4．某小组有6名女生，8名男生，这14名同学排成一行，其中A，B，C，D四名女生必须排在一起，另两名女生不相邻且不与前4名女生相邻，则不同的排法共有（）A．8829AA种B．446678AAA种C．443988AAA种D．445859AAA种5．斜率为2的直线l过双曲线)0,0(12222babyax的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围（）A．2eB．31eC．51eD．5e6．如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）7．函数dcxbxaxxf23)(的图象如图所示，则)1()1(ff的值一定（）A．等于0B．大于0C．小于0D．小于或等于08．若)1()2)(1(:*,,nxxxxHNnRxnx规定，例如：7333)(,6)1()2()3(xHxxfH则函数（）A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．即是奇函数又是偶函数D．即不是奇函数又不是偶函数第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2．答卷前将密封线内项目填写清楚。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=.10．在二项式nx)31(的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么n=.这个展开式中含x2项的系数是.11．函数2,,)(2xxxf的反函数)(1xf.12．已知函数)(,1,1,11)(3xfxaxxxxf若在R上连续，则a=，此时)321(limnanann.13．已知点P(x,y)满足条件3),(02,,0xzkkyxxyx若为常数y的最大值为8，则k=.2,4,62,4,614．定义一种运算“*”，它对于整数n满足以下运算性质：（1）2*1001=1；（2）（2n+2）*1001=3·[（2n）*1001]，则2008*1001的值是.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题共13分）设函数0)()(2yexebxaxxfx的图象与直线相切于点A，且点A的横坐标为1.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间，并指出在每个区间上的增减性.16．（本小题共13分）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量)0,2()cos1,(sinnBBm与向量夹角的余弦角为.21（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求CAsinsin的取值范围.17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点.（Ⅰ）求异面直线PD一AE所成角的大小；（Ⅱ）求证：EF平面PBC；（Ⅲ）求二面角F—PC—B的大小.18．（本小题共13分）某学生玩投飞镖游戏，他一次投镖所得环数m的概率分布如下：m8910p0.50.30.2若这名学生投两次飞镖，记两次投中的最高环数为ξ.（Ⅰ）求该名学生两次都投中8环的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ.19．（本小题共13分）已知双曲线12222byax的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且.120,1BAFAFAB（Ⅰ）求双曲线C的方程；2,4,62,4,6（Ⅱ）过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当732,,2121且ONOMPQ时，求点Q的坐标.20．（本小题共14分）已知函数)(),(),,(,13log)(22113xfyxNyxMxxxf是图象上的两点，横坐标为21的点P满足ONOMOP2（O为坐标原点）.（Ⅰ）求证：21yy为定值；（Ⅱ）若nnSnNnnnfnfnfS求且其中,2,),1()2()1(*；（Ⅲ）已知}{,.2,)1)(1(41,1,61*1nnnnnaTNnnSSna为数列其中的前n项和，若*1)1(NnSmTnn对一切都成立，试求m的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．C2．A3．B4．C5．D6．A7．B8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．－610．613511．4,,xx12．3313．－614．31003注：两个空的填空题对一个得3分。三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）xxxebxbaaxebxaxebaxxf])2([)()2()(22…………2分由于f(x)的图象与直线0yex相切于点A，点A的横坐标为1，2,4,6则).,1(eA所以.)1(,)1(efef…………………………………………………………………………4分即.2,1)23()(baeebaeeba解得…………………………………………………7分（Ⅱ）由),(,)2()(,2,12定义域为得xexxxfba，.)2)(2()2()(2xxexxexxf………………………………………9分令22,0)(xxxf或解得；令.22,0)(xxf解得故函数),2(),2,()(在区间xf上分别单调递增，在区间)2,2(上单调递减…………………………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）),0,2(),cos1,(sinnBBm.21||||,cosnmnmnm………………………………………………………2分即.21cos222sin2BB.01coscos22BB解得1cos21cosBB或（舍）B0.32B……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3CA).3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA……9分30A，.3233A.1,23)3sin(A即.1,23sinsincCA…………………………………………………………13分17．（本小题共14分）解法一：（Ⅰ）连结BD∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDB⊥平面ABCD，过点E作EO⊥BD于O，连结AO.则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD.∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角…………3分∵E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=21PD=1.在Rt△EOA中，AO=2，2tanEOAOAEO.即异面直线PD与AE所成角的大小为.2arctan………………………………5分（Ⅱ）连结FO，∵F是AD的中点，∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD，由三垂线定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC.……………………………………………………………………………7分连结FB.可求得FB=PF=.5则EF⊥PB.又∵PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC.……………………………………………………………………10分（Ⅲ）取PC的中点G，连结EG，FG.则EG是FG在平面PBC内的射影∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，则EG⊥PC∴FG⊥PC∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角…………………………………………12分在Rt△FEG中，EG=21BC=1，GF=322DGDF，.3331cosFGEGFGE∴二面角F—PC—B的大小为.33arccos解法二：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）……2分.33322||||,cos,2||,3||.2210)1(01).2,0,0(),1,1,1(DPAEDPAEDPAEDPAEDPAEDPAE又故异面直线AE与DP所成角的大小为.33arccos………………………………6分（Ⅱ）).2,0,2(),2,2,2(),1,0,1(),0,1,0(PCPBEFF,.,0)2()1(002)1(.,0)2()1(202)1(PPCPBPCEFPCEFPBEFPBEF又∴EF⊥平面PBC.……………………………………………………………………10分（Ⅲ）设平面PFC的法向量为).,,(zyxm)0,1,2(FC则.022,02.0,0zxyxPCmFCm则令).1,2,1(,1mz则由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为).1,0,1(FE.33262||||,cosFEmFEmFEm则二面角F—PC—B的大小为为.33arccos……………………………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设该名学生两次都投中8环的概率为P，则P=0.52=0.25.即该名学生两次都投中8环的概率为0.25.（Ⅱ）ξ的可能取值为8，9，10.36.02.02.03.05.02.0)10(39.03.03.03.05.0)9(;25.05.05.0)8(2221212CCPCPP故ξ的分布列为：ξ8910P0.250.390.36…………………………9分ξ的数学期望Eξ=8×0.25+9×0.39+10×0.36=9.11………………………………………………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由条件知).0,(),0(),0,(cFbBaA.1)()0,(),(caaacbaAFAB①……………………………2分.21120cos)()(||||coscaacccaaAFABAFABBAF.2ac②………………………………………………………………………4分解①，②得.2,1ca则.3222acb故双曲线C的方程为.1322yx……………………………………………………6分（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，设l的方程为：).0,4(),,(),,(,42211k