08高考数学三角函数复习训练

专题四高考数学三角函数复习训练高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形式出现。因此，在复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性.近年来，三角函数与向量联系问题有所增加，三角知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给于充分的重视。一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()yAx的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．3．注重三角函数与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合问题.二、典型例题分析例1．扇形AOB的中心角为2，半径为r，在扇形AOB中作内切圆1O及与圆1O外切，与,OAOB相切的圆2O，问sin为何值时，圆2O的面积最大？最大值是多少？解：设圆1O及与圆2O的半径分别为12,rr，则111212()sin()cos()2rrrrrrr，得112sin1sin(1sin)1sinrrrr，∴122(1sin)sin(1sin)1sin(1sin)rrr，∵022，∴0，令sin1(12)tt，2222321312()48ttrtt，当134t，即1sin3时，圆2O的半径最大，圆2O的面积最大，最大面积为64．例2、（05天津）已知727sin(),cos241025，求sin及tan()3．【解析】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722故51sincos②由①和②式得53sin，54cos奎屯王新敞新疆因此，43tan，由两角和的正切公式11325483343344331433tan313tan)3tan(解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得2sin212cos257，解得259sin2，即53sin奎屯王新敞新疆由1027)4sin(可得57cossin奎屯王新敞新疆由于0cos57sin，且057sincos，故在第二象限奎屯王新敞新疆于是53sin，从而5457sincos奎屯王新敞新疆以下同解法一奎屯王新敞新疆【点评】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3：设0θ2，曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1和x2cosθ－y2sinθ＝1有4个不同的交点.（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.解：（1）解方程组1sincos1cossin2222yxyx，得sincoscossin22yx故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为0sincos0cossin，（0θ2）0θ4.（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），则：xi2＋yi2＝2cosθ∈（2，2）（i＝1，2，3，4）.故四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝2cosθ∈（2,24）.评注：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.例4：设关于x的方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α＋β)的值.解:(Ⅰ)∵sinx＋3cosx＝2(21sinx＋23cosx)＝2sin(x＋3),∴方程化为sin(x＋3)＝－2a.∵方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解,∴sin(x＋3)≠sin3＝23.又sin(x＋3)≠±1(∵当等于23和±1时仅有一解),∴|－2a|1.且－2a≠23.即|a|2且a≠－3.∴a的取值范围是(－2,－3)∪(－3,2).(Ⅱ)∵α、β是方程的相异解,∴sinα＋3cosα＋a＝0①.sinβ＋3cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋3(cosα－cosβ)＝0.∴2sin2cos2－23sin2sin2＝0,又sin2≠0,∴tan2＝33.∴tan(α＋β)＝2tan22tan22＝3.【点评】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2π)这一条件.例5已知函数2sin0,0fxx的最小正周期为，其图像过点,14.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)函数fx的图像可由sin2yx（x∈R）的图像经过怎样的变换而得到?解:(Ⅰ)函数2sinfxx的最小正周期为，2.2.2sin2fxx.fx的图像过点,14,2sin12,即1cos2.0,3.(Ⅱ)先把sin2yx的图像上所有点向左平移6个单位(纵坐标不变),得到函数sin23yx的图像,再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数fx的图像.【点评】三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的.例6、（2007年湖南卷文16）已知函数2πππ()12sin2sincos888fxxxx．求：(I)函数()fx的最小正周期；(II)函数()fx的单调增区间．解：ππ()cos(2)sin(2)44fxxxπππ2sin(2)2sin(2)2cos2442xxx．（I）函数()fx的最小正周期是2ππ2T；（II）当2ππ22πkxk≤≤，即πππ2kxk≤≤（kZ）时，函数()2cos2fxx是增函数，故函数()fx的单调递增区间是π[ππ]2kk，（kZ）．【点评】本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力．例7、已知：2223sincos2cos(13),fxxxxxR（1）请说明函数()yfx的图象可由函数sin2yx的图象经过怎样的变换得到；（2）设函数()yfx图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、…、nA…、()nN，试求A4的坐标。解：（1）23(12sincos)cos23fxxxx3sin2cos2xx∴31()sin2cos222fxxxcossin2sincos266xxsin26xsin212x所以函数()yfx的图象可由函数sin2yx的图象向左平移12个单位得到（2）∵函数sinyx图象的对称中心为(,0)k，kZ由2,6xkkZ得函数()yfx的对称中心为(,0)212k，k依次取1，2，3，4……可得A1、A2、A3、A4……各点，∴A4的坐标为23(,0)12例8、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC＝a，∠ABC＝，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用a，表示S1和S2；（2）当a固定，变化时，求21SS取最小值时的角解（1）∵.cos,sinaABaAC∴.2sin41cossin21221aaS设正方形边长为x.则BQ＝xtgRCxctg,.axtgxxctg2sin22sincossin1cossin1aatgctgax.2sin42sin42sin)2sin22sin(22222aaS（2）当a固定，变化时，).42sin2sin4(412sin)2sin211()2sin211(2sin412sin41222221aaSS令).44(41,2sin21ttSSt则.10,20t令tttf4)(任取]1,0(,21tt，且21tt，))4()(()(4)(44)()(212121212121212121tttttttttttttttttftf．0)()(,04,10,021212121tftftttttt，]1,0(4)(在tttf是减函数．21,1SSt时取最小值，此时.4三、方法总结与2008年高考预测1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1＝cos2x＋sin2x＝tanx·cotx＝tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角：α＝（α＋β）－β，β＝2－2等。（3）升幂与降幂。（4）化弦（切）法。（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22basin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝ab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。5．高考考点分析2005－207年各地高考中本部分所占分值在14～20分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。四．强化训练一、选择题:1．(2007年全国高考题)函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是（）A．π4B．π2C．πD．2π2．若则角且,02sin,0cos的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数)12cos()12sin(